Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 6

Verklebungen

Ziel ist es, an einen gegebenen topologischen Raum etwas anzukleben, um einen neuen topologischen Raum zu erhalten. Verklebungen kann man in großer Allgemeinheit diskutieren; besonders relevant ist jedoch der Spezialfall des Anklebens von Zellen. Als erstes diskutieren wir Verklebungen, bei denen nichts verklebt wird. Diese Verklebungen nennt man auch disjunkte Vereinigungen.

Definition

Topologie/Grundbegriffe/Disjunkte Vereinigung/Definition

Wie bei den Produkten gibt es auch die disjunkte Vereinigung beliebig vieler topologischer Räume. Des weiteren hat auch die disjunkte Vereinigung eine universelle Eigenschaft, deren Formulierung und Beweis der geneigten Leserin überlassen wird.

Satz

Topologie/Grundbegriffe/Disjunkte Vereinigung und Zusammenhang/Fakt

Beweis

Topologie/Grundbegriffe/Disjunkte Vereinigung und Zusammenhang/Fakt/Beweis

$\Box$

Bevor echte Verklebungen in Erscheinung treten können, ist noch ein Begriff erforderlich.

Definition

Topologie/Grundbegriffe/Abgeschlossene Einbettung/Definition

Beispiel

Topologie/Grundbegriffe/Abgeschlossene Einbettung/Beispiel

Definition

Es sei ${}i\colon A\hookrightarrow B$ eine abgeschlossene Einbettung und ${}f\colon A\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Der Quotientenraum der disjunkten Vereinigung ${}X\coprod B$ bezüglich der von

$i(x)\sim f(x)\quad \forall x\in \partial A$

erzeugten Äquivalenzrelation wird mit ${}X\cup _{A}B$ bezeichnet. Man sagt, der Raum ${}X\cup _{A}B$ entsteht durch Verkleben von ${}X$ und ${}B$ entlang ${}A$. Die Abbildung ${}f$ ist die Anklebe-Abbildung.

Beispiel

Es sei ${}i\colon S^{0}=\partial D^{1}\hookrightarrow D^{1}$ und ${}f\colon \partial D^{1}\rightarrow S^{0}$ die konstante Abbildung, dann ist ${}S^{0}\cup _{S^{0}}D^{1}=D^{0}\coprod S^{1}$. Ist ${}f$ hingegen die Identität, so ist ${}S^{0}\cup _{S^{0}}D^{1}=D^{1}$. Die beiden Räume sind nicht topologisch äquivalent.

Lemma

Es sei ${}i\colon A\hookrightarrow B$ eine abgeschlossene Einbettung und ${}f\colon A\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Die kanonische Abbildung

${}i^{\prime }\colon X\hookrightarrow X\coprod B{\xrightarrow {q}}X\cup _{A}B\,$

ist eine abgeschlossene Einbettung. Die kanonische Abbildung ${}f^{\prime }\colon B\hookrightarrow X\cup B{\xrightarrow {q}}X\cup _{A}B$ induziert eine offene Einbettung

${}h\colon B\smallsetminus i(A)\hookrightarrow X\cup _{A}B\,.$

Die unterliegende Menge von ${}X\cup _{A}B$ ist die disjunkte Vereinigung der Bilder dieser beiden Einbettungen.

Beweis

Es ist hilfreich, die Äquivalenzrelation einmal explizit hinzuschreiben. Es gilt: ein Paar ${}(c,d)\in (B\coprod X)\times (B\coprod X)$ ist genau dann in der Äquivalenzrelation enthalten, wenn

1. ${}c=d$, oder
2. ${}\exists a\in A:c=i(a),d=f(a)$, oder
3. ${}\exists a\in A:d=i(a),c=f(a)$, oder
4. ${}\exists a,b\in A:c=i(a),d=i(b),f(a)=f(b)$

gilt. Man sieht dann sofort die Injektivität der beiden Abbildungen, und auch die letzte Aussage. (Die Abbildung ${}B\rightarrow X\cup _{A}B$ muss nicht injektiv sein.) Ist ${}C\subseteq X$ irgendeine Teilmenge, so ist

${}q^{-1}{\bigl (}i^{\prime }(C){\bigr )}=C\coprod i{\bigl (}f^{-1}(C){\bigr )}\,.$

Insbesondere ist ${}C$ in ${}X$ abgeschlossen genau dann, wenn ${}i^{\prime }(C)$ in ${}X\cup _{A}B$ abgeschlossen ist, also ist ${}i^{\prime }$ eine abgeschlossene Einbettung. Ist ${}U\subseteq B\smallsetminus i(A)$ irgendeine Teilmenge, so ist

${}q^{-1}{\bigl (}h(U){\bigr )}=U\,.$

Somit ist ${}U$ offen in ${}B\smallsetminus i(A)$ genau dann, wenn ${}h(U)$ offen ist in ${}X\cup _{A}B$, also ist ${}h$ eine offene Einbettung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}i\colon A\hookrightarrow B$ eine abgeschlossene Einbettung und ${}f\colon A\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Es seien ${}g\colon X\rightarrow Y$ und ${}h\colon B\rightarrow Y$ stetige Abbildungen mit der Eigenschaft, dass ${}g\circ f=h\circ i$ gilt. Dann gibt es genau eine stetige Abbildung

${}e\colon B\cup _{A}X\rightarrow Y\,$

derart,

dass ${}e\circ i^{\prime }=g$ und ${}e\circ f^{\prime }=h$ gilt.

Beweis

Dies folgt aus den entsprechenden universellen Eigenschaften der disjunkten Vereinigung bzw. des Quotientenraumes.

$\Box$

Definition

Es sei ${}J$ eine Menge und für jedes ${}j\in J$ eine stetige Abbildung ${}f_{j}\colon \partial D^{n}\rightarrow X$ gegeben. In anderen Worten, man hat eine stetige Abbildung

$f\colon \coprod _{j\in J}\partial D^{n}\longrightarrow X.$

Der Raum

$X\cup _{\coprod _{j\in J}\partial D^{n}}\coprod _{j\in J}D^{n}$

entsteht durch Ankleben von ${}n$-Zellen an ${}X$. Die Abbildung ${}f$ ist die Anklebe-Abbildung. Allgemeiner sagt man, eine Abbildung ${}g\colon X\rightarrow Y$ entsteht durch Ankleben von ${}n$-Zellen, wenn es eine stetige Abbildung

$f\colon \coprod _{j\in J}\partial D^{n}\longrightarrow X$

und eine topologische Äquivalenz ${}h\colon Y{\xrightarrow {\cong }}X\cup _{f}\coprod _{j\in J}D^{n}$ derart gibt, dass ${}h\circ g$ die kanonische Abbildung ${}X\hookrightarrow X\cup _{f}\coprod _{j\in J}D^{n}$ ist.

Beispiel

Sphäre, Torus, Fläche vom Geschlecht g.