Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente

Hauptsatz über K-reguläre Elemente

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ eine kommutative topologische Algebra mit einem unital positiven, basiserzeugenden Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$. Ferner sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein Hausdorff-Raum, dann gelten folgenden Charakterisierungssätze der ${\mathcal {K}}$-regulären Elemente.

Lokalbeschränkte topologische Algebren

Wird die Topologie der ${\mathcal {K}}$-Algebra von einer $p$-Norm oder einer Quasinorm topologisiert, dann ist $z\in A$ genau dann ${\mathcal {P^{k}}}$-regulär, wenn $z\notin {\mathcal {TNT}}(A)$ gilt (also ${\mathcal {K}}={\mathcal {B}}_{e}^{k},{\mathcal {P}}_{e}^{k}$)

Topologische Algebren mit submultiplikativen p-Halbnormen

Wird die Topologie der ${\mathcal {MPC}}$-Algebra von einem submultiplikativen $p$-Halbnormensystem oder einem submultiplikativen Quasihalbnormensystem topologisiert, dann ist $z\in A$ genau dann ${\mathcal {MPC}}$-regulär, wenn $z\notin {\mathcal {MTNT}}(A)$ gilt (also ${\mathcal {K}}={\mathcal {MLC}}_{e}^{k},{\mathcal {MPC}}_{e}^{k}$)

Lokalkonvexe und pseudokonvexe topologische Algebren

Wird die Topologie der ${\mathcal {PC}}$-Algebra von einem $p$-Halbnormensystem, dann ist $z\in A$ genau dann ${\mathcal {PC}}^{k}$-regulär, wenn $z\in A$ das ${\mathcal {PC}}$-Regularitätskriterium erfüllt (also ${\mathcal {K}}={\mathcal {LC}}_{e}^{k},{\mathcal {PC}}_{e}^{k}$ - siehe auch LC-Regularitätskriterium)

Topologische Algebren

Wird die ${\mathcal {T}}$-Algebra von einem Gaugefunktionalsystem topologisiert, dann ist $z\in A$ genau dann ${\mathcal {T}}^{k}$-regulär, wenn $z$ das ${\mathcal {T}}$-Regularitätskriterium erfüllt (also ${\mathcal {K}}={\mathcal {T}}_{e}^{k}$)

Bemerkung

Die Menge der multiplikativen lokalkonvexen topologischen Algebren ${\mathcal {MLC}}$ ist in der Algebrenklasse in der Klasse der lokalkonvexen topologischen Algebren ${\mathcal {LC}}$ enthalten. Es ist möglich, dass ein Element $z\in A$ zwar ${\mathcal {MLC}}$-singulär ist (wegen $z\in {\mathcal {MTNT}}(A)$), aber dennoch kann es eine ${\mathcal {LC}}$-Erweiterung von $A$ besitzt, in der $z\in A$ invertierbar ist, weil $z\notin {\mathcal {TKP(A)}}$ gilt. Dies kann dann der Fall sein, wenn $z\in {\mathcal {MTNT}}(A)\cap {\mathcal {TGP}}(A)$ mit

${\mathcal {TKP}}(A)\subseteq {\mathcal {MTNT}}(A)\,\,\,\wedge \,\,\,{\mathcal {TKP}}(A)\cup {\mathcal {TGP}}(A)=A$

Multiplikative topologische Nullteiler, die dennoch topologisch große Potenzen besitzen, sind also z.B. ${\mathcal {MLC}}$-singulär aber ${\mathcal {LC}}$-regulär.

Aufgabe für Studierende

Konstruieren Sie in eine multiplikative lokalkonvexe Algebra der Polynome $\mathbb {R} [t]$ und wählen Sie Polynome $p\in \mathbb {R} [t]$, die kleinen Potenzen besitzen und die keine multiplikative topologische Nullteiler sind.

Siehe auch

• Algebraerweiterung
• Gaugefunktional
• Polynomalgebra
• Normen, Metriken, Topologie
• Neutrales Element
• Vollständigkeit
• Vervollständigung topologischer Vektorräume
• Multiplikative topologische Nullteiler
• Topologische Nullteiler
• Topologisch kleine Potenzen
• Topologisch große Potenzen
• Zelazko Wieslaw

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