Für
-Normen in
-Regularitätsbeweisen bzw.
-Halbormen beim Nachweis der PC-Regularität benötigt man als absorbierende Mengen eine absolute
-konvexe Menge. Diese Verallgemeinerung von konvexen Mengen auf pseudokonvexe Räume benötigt den Begriff der (absolute)
-konvexen Hülle (siehe Köthe 1966[1]).
Sei
eine Teilmenge eines Vektorraums
und
, dann heißt
-konvex, wenn gilt

Sei
eine Teilmenge eines Vektorraums
und
, dann heißt
absolut
-konvex, wenn gilt

Die
-konvexe Hülle der Menge
(Bezeichnung:
) ist der Schnitt über alle
-konvexen Mengen, die
enthalten.

Die absolut
-konvexe Hülle der Menge
(Bezeichnung:
)
ist der Schnitt über alle absolut
-konvexen Mengen, die
enthalten.

Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle
[Bearbeiten]
Sei
eine Teilmenge eines Vektorraums
über dem Körper
und
, dann lässt sich die absolut
-konvexe Hülle von
wie folgt schreiben:

Es werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2)
liefert und (3) die Teilmengenbeziehung
.
- (Beweisteil 1)
,
- (Beweisteil 2)
ist absolut
-konvex und
- (Beweisteil 3)
ist in jeder absolut
-konvexen Menge
enthalten.
, denn
Seien nun
und
gegeben. Man muss zeigen, dass
liegt.
Mit
sollen nun
die folgende Darstellungen haben:
mit 
mit 
Man zeigt nun das
absolut
-konvex ist-
ist absolut
-konvex, denn es gilt mit
:

Damit erhält man:

, denn es gilt
mit
und ein beliebiges
erhält
.
Wir zeigen nun, dass die absolut
-konvexe Hülle in jeder absolut
-konvexen Obermenge
von
enthalten ist.
Beweisteil 3.1 - Induktion über Anzahl der Summanden
[Bearbeiten]
Nun soll induktiv über die Anzahl der Summanden
gezeigt werden, dass jedes Element der Form

in einer gegebenen absolut
-konvexen Menge
enthalten ist.
Für
folgt die Behauptung über die Definition einer absolut
-konvexen Menge
.
Beweisteil 3.3 - Induktionsvoraussetzung
[Bearbeiten]
Nun gelte die Voraussetzung für
, d.h.:

Für
ergibt sich die Behauptung wie folgt:
Sei
und
mit
für alle
.
ist nun zu beweisen.
Ist
, so ist nichts zu zeigen, da dann alle
sind für
.
Beweisteil 3.6 - Konstruktion einer p-Konvexkombination aus n Summanden
[Bearbeiten]
Wir konstruktruieren nun eine Summe von nicht-negativen Summanden
![{\displaystyle \beta _{j}:={\frac {\alpha _{j}}{\sqrt[{p}]{1-|\alpha _{n+1}|^{p}}}}{\mbox{ mit }}\sum _{j=1}^{n}\left|\beta _{j}\right|^{p}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc616171f45959ce469e60f5208563fc75c75d97)
Beweisteil 3.7 - Anwendung der Induktionsvoraussetzung
[Bearbeiten]
Sei also
. Die Ungleichung
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\underbrace {\left|{\frac {\alpha _{j}}{\sqrt[{p}]{1-|\alpha _{n+1}|^{p}}}}\right|^{p}} _{=|\beta _{j}|^{p}}={\frac {1}{1-|\alpha _{n+1}|^{p}}}\cdot \underbrace {\sum _{j=1}^{n}|\alpha _{j}|^{p}} _{\leq 1-|\alpha _{n+1}|^{p}}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6889d4c5815a45fea377aaa1e54ffec7a4c45b)
liefert nach Induktionsvoraussetzung
.
Da
absolut
-konvex ist, folgt mit
![{\displaystyle {\widetilde {M}}\ni \left({\sqrt[{p}]{1-|\alpha _{n+1}|^{p}}}\right)z+\alpha _{n+1}x_{n+1}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}x_{j}+\alpha _{n+1}x_{n+1}=\sum _{j=1}^{n+1}\alpha _{j}x_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2058953982679b54832caac0a969c06a6a2580)
Aus den Beweisteilen
,
und
zusammen folgt die Behauptung.
Sei
eine Teilmenge eines Vektorraums
über dem Körper
und
, dann lässt sich die
-konvexe Hülle von
wie folgt schreiben:
![{\displaystyle {\cal {C}}_{p}(M)=\left\{\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}x_{j}\,:\,n\in \mathbb {N} \wedge x_{j}\in M\wedge \alpha _{j}\in [0,1]\wedge \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}^{p}=1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c9bd6b33b886083b43f83a83a488ba3d16b672)
Übertragen Sie den obigen Beweis analog auf die
-konvexe Hülle.
- ↑ Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.
Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.
Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.