Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale

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Einleitung[Bearbeiten]

Mit absorbierenden Mengen kann man Minkowski-Funktionale definieren, wobei man mit einem Minkowski-Funktional jedem Element aus dem Vektor ein Skalar zuordnet. Diese positive reelle Zahl sagt etwas darüber aus, wie weit man ein Menge "aufblasen" muss, damit man den Vektor einfangen kann. Damit man ein Minkowski-Funktional definieren kann, benötigt man eine absorbiernde Menge, die die Eigenschaft hat, jedes Element aus dem Vektorraum durch "Aufblasen" einfangen zu können (siehe Visualisierung zu einer absorbierenden Menge).

Absorbierende Mengen[Bearbeiten]

Geometrisch kann man absorbierende Menge so auffassen, dass diese durch "Aufblasen" der Menge mit einem Skalar jedes beliebiges Element aus dem Vektorraum "einfangen" bzw. absorbieren kann, d.h. .

Visualisierung[Bearbeiten]

Absorbierende Menge, die mit einem Faktor t eine Polyeder aufbläst um einen Punkt einzufangen

Absorbierende Menge, die mit einem Faktor eine Polyeder aufbläst um einen Punkt einzufangen.

Definition: Absorbierende Mengen[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum über , dann heißt

  • absorbierend, falls es für jedes ein gibt mit für alle und
  • schwach absorbierend, falls es für jedes ein gibt mit .

Bemerkung[Bearbeiten]

Absorbierende Mengen sind bereits kreisförmig. Schwach absorbierende Mengen sind nicht notwendig kreisförmig.

Lemma: Nullumgebungen absorbierend[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Vektorraum und , dann ist Menge absorbierend.

Beweis[Bearbeiten]

Sei Vektor ein beliebiger Vektor in . Für den Beweis konstruiert man

  • eine eine Nullfolge in dem Körper mit für alle und
  • ein konstantes Netz mit in , das in jeder Topologie gegen den Vektor konvergiert.

Beweis 1: Kreisförmige Nullumgebung[Bearbeiten]

Damit gibt es nach dem Lemma über kreisförmige Nullumgebungen gibt es zu jeder eine kreisförmige Nullumgebung mit . Sei nun eine kreisförmige Nullumgebung zu der gegebenen Nullumgebung mit

Beweis 2: Grenzwert des Netzes[Bearbeiten]

Mit der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren konvergiert gegen den Nullvektor in

Für dieses gibt es eine Indexschranke und eine Indexschranke , sodass für alle und die folgende Bedingung gilt:

.

Für konstante Netze ist hier die Indexschranke allerdings irrelevant.

Beweis 3: Absorbierende Eigenschaft[Bearbeiten]

Das konstante Netz, bei dem für alle auch gilt, ist konvergent gegen in jeder Topologie . Aus für folgt

mit .

Beweis 4: Absorbierende Eigenschaft[Bearbeiten]

Mit der Kreisförmigkeit von erhält man mit und auch :

Beweis 5: Absorbierende Eigenschaft[Bearbeiten]

Insgesamt folgt

Damit folgt die Behauptung. q.e.d.

Definition: Minkowski-Funktional[Bearbeiten]

Der Menge eine absorbierende Menge in einem Vektorraum . Das Minkowski-Funktional der absorbierende Menge wird dabei wie folgt definiert:

Aufgaben[Bearbeiten]

In den folgenden Aufgaben wird die Eigenschaft, absorbierend zu sein, überprüft. Die Definition der Minkowski-Funktionale hat besondere Bedeutung für die Definition topologieerzeugenden Funktionalen (siehe Gaugefunktionale). Daher wird für die absorbierenden Mengen auch überprüft, ob diese auch Nullumgebungen sind.

Aufgabe 1: Einheitskreisscheibe[Bearbeiten]

Betrachten Sie den Vektorraum mit der Einheitskreisscheibe und das Quadrat .

  • Vergleichen Sie die Minkowski-Funktionale und und zeigen Sie, dass für alle !
  • Zeigen Sie, dass .

Aufgabe 2: Einheitskreis[Bearbeiten]

Betrachten Sie den Vektorraum mit der Einheitskreis . Überprüfen Sie, ob die Menge schwach absorbierend ist!

Aufgabe 3: Absorbierend - Nullumgebungen[Bearbeiten]

Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage: Jede schwach absorbierende Menge ist eine Nullumgebung.

Aufgabe 4:[Bearbeiten]

Mit der Stetigkeit der skalaren Multiplikation in einem topologischen Vektorraum gilt nach obigem Satz, dass eine Nullumgebung eine absorbierende Menge ist. Zu jeder Nullumgebung gibt es ferner eine kreisförmige Nullumgebung mit .

  • Zeigen Sie, dass für die zugehörigen Minkowski-Funktionale die Bedingung für alle gilt.
  • Zeigen Sie, dass für die Bedingung gilt!

Siehe auch[Bearbeiten]

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