Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul

Satz: Konkavitätsmodul lokalbeschränkter Räume

Ist ${\textstyle \varrho ({\mathcal {T}})=2^{\frac {1}{p_{o}}}}$ der Konkavitätsmodul von einem lokalbeschränkten topologischen Vektorraum ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$, so gibt es zu jedem ${\textstyle p<p_{o}}$ eine topologieerzeugende ${\textstyle p}$-Norm auf ${\textstyle V}$.

Bemerkung

Der Konkavitätsmodul liefert Informationen darüber, wie man eine Nullumgebung $U$ mit $K>0$ "aufgeblasen" muss, damit beliebige Summe von zwei Elementen aus $U$ wieder in der "aufgeblasenen" Nullumgebung $K\cdot U$ liegen.

Beweis

Zunächst betrachtet man eine grundlegende Abschätzung für den Konkavitätsmodul einer Nullumgebung.

• Wegen ${\textstyle 2\cdot U\subset U+U\subset K\cdot U}$ für alle Nullumgebungen ${\textstyle U}$ gilt ${\textstyle 2\leq \varrho (U)<\infty }$.
• durch Bildung des Infimums bleibt die Abschätzung auch für das Konkavitätsmodul der Topologie ${\mathcal {T}}$ erhalten mit $2\leq \varrho ({\mathcal {T}})<\infty$.

Beweisschritt 1 - Obere untere Schranke für p

Mit der algebraischen Darstellung ${\textstyle \varrho ({\mathcal {T}})=2^{\frac {1}{p_{o}}}}$ gibt es damit die folgenden oberen und unteren Schranken für $p_{o}$ mit $0<p_{o}\leq 1$ .

Beweisschritt 2 - Anwendung Korrespondenzsatz für p-Normen

Nach dem Korrespondenzsatz für p-Normen genügt es zu zeigen, dass ${\textstyle V}$ eine absolut ${\textstyle p}$-konvexe Nullumgebung besitzt, die als absorbiernde Menge des Minkowski-Funktionals die p-Norm als p-Gaugefunktional erzeugt.

Bemerkung 3 - p-konvex bzw. absolut p-konvex

Eigentlich wäre es bereits ausreichend zu zeigen, dass es eine ${\textstyle p}$-konvexe Nullumgebung gibt, da in einem toplogischen Vektorraum jede ${\textstyle p}$-konvexe Nullumgebung eine kreisförmige Nullumgebung enthält. Wenn man eine kreisförmige Nullumgebung mit einer ${\textstyle p}$-konvexe Nullumgebung schneidet erhält man eine Nullumgebung, die absolut ${\textstyle p}$-konvex ist.

Beweisschritt 4 - Anwendung Satz über Quasinormierbarkeit

Sei $0<p\leq 1$ mit $2^{\frac {1}{p}}>\varrho ({\mathcal {T}})$. Nach Voraussetzung gibt es eine beschränkte, ohne Einschränkung, kreisförmige Nullumgebung ${\textstyle U}$ mit

$$U+U\subset 2^{\frac {1}{p}}\cdot U$$

bzw.

$$2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot (U+U)=2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot U+2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot U\subset U$$

Beweisschritt 5 - Mehrfache Anwendung der Mengeninklusion

Durch fortgesetzte Anwendung der obigen Mengeninklusion

$$2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot U+2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot (\underbrace {2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot (U+U)} _{\subseteq U})\subset 2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot (U+U)\subset U$$

erhält man über die Potenzgesetze und $2^{-1}+2^{-2}+2^{-2}=1$

$$2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot U+2^{-{\frac {2}{p}}}\cdot U+2^{-{\frac {2}{p}}}\cdot U\subset U$$

Beweisschritt 6 - Mehrfache Anwendung der Mengeninklusion

Jede weitere Anwendung der Mengeninklusion verändert jeweils bei zwei Koeffizienten im Term den Faktor $2^{-{\frac {k}{p}}}$ zu $2^{-{\frac {k+1}{p}}}$.

Beweisschritt 7 - Mehrfache Anwendung der Mengeninklusion

In allgemeinere Form erhält man durch fortgesetzte Anwendung des Mengeninklusion die Teilmengenbeziehung:

$$\sum _{i=1}^{n}2^{-{\frac {k_{i}}{p}}}\cdot U\subset U{\mbox{ mit }}\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}}=1;\ 1\leq k_{i}\in \mathbb {N} \,\,(\ast )$$

Beweisschritt 8 - Zerlegung der Eins

Die Zerlegung der Eins bleibt bei jeder Anwendung erhalten und mit ${\textstyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}}=1}$ gilt ferner:

$$\sum _{i=1}^{n}2^{-{\frac {k_{i}}{p}}}\cdot U\subset U$$

Beweisschritt 9 - Ordnung der Zerlegung der Eins

Als Ordnung ${\textstyle k}$ einer Zerlegung der ${\textstyle 1}$ bezeichnet man das Maximum der auftretenden ${\textstyle k_{i}\in \mathbb {N} _{0}}$ mit ${\textstyle i\in \{1,\dots ,n\}}$. ("Je größer das ${\textstyle k}$ ist, um so feiner ist die Zerlegung der ${\textstyle 1}$.")

Beweisschritt 10 - Zusammenhang zwischen Zerlegungen der Eins

Da ${\textstyle k_{i}\in \mathbb {N} }$ ist, erhält man jede Zerlegung der Ordnung ${\textstyle k+1}$ aus einer Zerlegung der Ordnung ${\textstyle k}$, indem man die betreffenden Summanden ${\textstyle 2^{-k_{i}}}$ durch ${\textstyle 2^{-(k_{i}+1)}+2^{-(k_{i}+1)}}$ ersetzt, denn aus ${\textstyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}}=1}$ folgt, dass die Summanden der Ordnung ${\textstyle k}$ für ${\textstyle n>0}$ in gerader Anzahl auftreten.

Beweisschritt 11 - Vollständig Induktion

Nun soll die Behauptung ${\textstyle (\ast )}$ mit vollständiger Induktion über die Ordnung ${\textstyle k}$ gezeigt werden.

Beweisschritt 11.1 - Induktionsfang

Für ${\textstyle k=1}$ gilt die Behauptung mit

$2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot U+2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot U\subset U$

Beweisschritt 11.2 - Induktionsvoraussetzung

Für die Ordnung ${\textstyle k}$ gelte die Mengeninklusion als Induktionsvoraussetzung:

$$\sum _{i=1}^{n}2^{-{\frac {k_{i}}{p}}}\cdot U\subset U{\mbox{ mit }}\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}}=1;\ 1\leq k_{i}\in \mathbb {N}$$

Beweisschritt 11.3 - Induktionsschritt

Um aus der Zerlegung der Eins mit Ordnung ${\textstyle k}$ eine Zerlegung der Ordnung ${\textstyle k+1}$ zu machen, wird in der Mengeninklusion ein Summand ${\textstyle 2^{-{\frac {k}{p}}}\cdot U}$ durch eine Teilmenge aus zwei Summanden ${\textstyle 2^{-{\frac {k+1}{p}}}\cdot U+2^{-{\frac {k+1}{p}}}\cdot U}$ ersetzt. Dadurch entsteht eine Zerlegung höherer Ordnung.

Beweisschritt 11.4 - Induktionsschritt

Dies ist mit ${\textstyle 2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot U+2^{-{\frac {1}{p}}}\cdot U\subset U}$ möglich.

Bemerkung 11.5 - Zusammenhang Minkowski-Funktional

Wenn man ${\textstyle \Gamma _{p}(U)\subset 2^{\frac {1}{p}}\cdot U}$ zeigen kann, erzeugt das Minkowskifunktional der absolut ${\textstyle p}$-konvexe Menge ${\textstyle \Gamma _{p}(U)}$ die gleiche Topologie wie das Minkowskifunktional der Menge ${\textstyle U}$, denn es gilt ${\textstyle U\subseteq \Gamma _{p}(U)\subseteq 2^{\frac {1}{p}}\cdot U}$.

Beweisschritt 11.6 - Induktionsschritt

Also ist ${\textstyle \Gamma _{p}(U)\subset 2^{\frac {1}{p}}\cdot U}$ für den Induktionsschritt noch zu zeigen:

Beweisschritt 11.7 - Induktionsschritt

Zu einer beliebigen Wahl von Skalaren $\alpha _{i}$ mit ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}|\alpha _{i}|^{p}\leq 1}$ wählt man die ${\textstyle k_{i}\in \mathbb {N} _{0}}$ derart, dass ${\textstyle 2^{-k_{i}}\leq |\alpha _{i}|^{p}<2^{-k_{i}+1}}$ erfüllt ist.

Beweisschritt 11.8 - Induktionsschritt

Durch diese Einschachtelung der $|\alpha _{i}|^{p}$ erhält man:

$\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}|\alpha _{i}|<2\cdot \underbrace {\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}}} _{=1}=2$

Beweisschritt 11.8 - Induktionsschritt

Damit gilt erhält man mit der Kreisförmigkeit von $U$:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\alpha _{i}|\underbrace {\left({\frac {\alpha _{i}}{|\alpha _{i}|}}\cdot x\right)} _{\in U}\\&\in &\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\alpha _{i}|\cdot U\\&\subseteq &\displaystyle \sum _{i=1}^{n}2^{\frac {-k_{i}+1}{p}}\cdot U=2^{\frac {1}{p}}\cdot \underbrace {\sum _{i=1}^{n}2^{-{\frac {k_{i}}{p}}}U} _{\subseteq U}\subseteq 2^{\frac {1}{p}}\cdot U\end{array}}$

Beweisschritt 12

Damit besitzt ${\textstyle V}$ eine absolut ${\textstyle p}$-konvexe Nullumgebung, dessen Minkowski-Funktional $p$-homogen ist. $\Box$

Bemerkung

${\textstyle V}$ braucht nicht ${\textstyle p_{o}}$-normierbar zu sein, falls das Infimum nicht angenommen wird. Zusammen mit den Korrespondenzsatz für $p$-Normen, der die Topologisierung eines lokalbeschränkten Raumen, sowohl durch eine $p$-Norm als auch durch eine Quasihalbnorm der Stetigkeitskonstant $K=2^{\frac {1}{p}}$ ermöglicht.

Siehe auch

• Korrespondenzsatz p-Halbnormen
• Satz über p-Normierbarkeit lokalbeschränkter Räume
• Satz über Quasinormierbarkeit lokalbeschränkter Räume
• P-Regularität

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