Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit

Einleitung

Der Satz zur Quasinormierbarkeit von topologischen Vektorräumen $(V,{\mathcal {T}})$ stellt einen Zusammenhang zwischen Quasinormierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie ${\mathcal {T}}$ . Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung $U_{o}$ exisitiert. Insgesamt ist Satz über Quasinormierbarkeit zusammen mit dem Satz zur p-Normierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen Quasinormen (siehe Köthe^[1]).

Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit

Jeder topologische Vektorraum ist genau dann ${\textstyle p}$ -normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:

{\begin{array}{rcl}(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ quasinormierbar }}&\Leftrightarrow &(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ lokalbeschränkt }}\\&\Leftrightarrow &(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ p-normierbar }}\end{array}}

.

Satz: Quasinormierbarkeit

Die Topologie ${\mathcal {T}}_{V}$ eines topologischen Vektorraums ${\textstyle (V,{\mathcal {T}}_{V})}$ kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn ${\textstyle V}$ lokalbeschränkt ist.

{\begin{array}{rcl}(V,{\mathcal {T}}_{V}){\mbox{ quasinormierbar }}&\Leftrightarrow &(V,{\mathcal {T}}_{V}){\mbox{ lokalbeschränkt }}\\\end{array}}

.

Wenn ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ ein topologische Algebra ist, gilt analog:

{\begin{array}{rcl}(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ quasinormierbar }}&\Leftrightarrow &(A,{\mathcal {T}}_{A}){\mbox{ lokalbeschränkt }}\\\end{array}}

.

Beweis

Der Beweis der Äquivalenz gliedert sich in zwei Beweisteile der folgenden Implikationen

(Beweisteil 1) Gegeben ist ein lokalbeschränkter topologischer Raum ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ und man zeigt, dass die Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ durch eine Quasinorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ topologisiert werden kann.
(Beweisteil 2) Gegeben ist ein quasinormierbarer topologischer Raum ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ mit Quasinorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ und ${\textstyle V}$ und man zeigt, dass die Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ lokalbeschränkt ist.

Beweisteil 1:

"' ${\textstyle \Longleftarrow }$ "': Sei ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ ein lokalbeschränkter topologischer Raum und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|:=p_{_{U}}}$ das Minkowski-Funktional einer kreisförmigen und beschränkten Nullumgebung ${\textstyle U}$ , die in einem lokalbeschränkten Raum existiert. Nun sind die Eigenschaften einer Quasinorm für das definierte Minkowski-Funktional zu zeigen.

Vorbemerkung - topologische Algebra - topologischer Vektorraum

In dem Beweis wird gezeigt, dass die Eigenschaften für eine topologische Algebra inklusive der Stetigkeit der Multiplikation als innere Verknüpfung $\cdot :A\times A\to A$ gezeigt. Der Beweis für einen topologischen Vektorraum sind identisch. Lediglich der Beweis für die Stetigkeit der Multiplikation mit ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|\leq K^{2}\cdot \left\|x\right\|\cdot \left\|y\right\|}$ entfällt. Lediglich ${\textstyle \left\|x+y\right\|\leq K\cdot (\left\|x\right\|+\left\|y\right\|)}$ für die Stetigkeit der Addition ist nachzuweisen.

Beweisschritt 1.1 - Nullumgebungsbasis

${\textstyle \{\lambda \cdot U\}_{\lambda >0}}$ ist eine Nullumgebungsbasis der Topologie. Die Nichtnegativität der Quasinorm und die Homogenität ergeben sich aus der Definition des Minkowski-Funktionals (siehe Topologisierungslemma für Algebren), wobei die Homogenität in ${\textstyle (Q2)}$ ist eine unmittelbare Folgerung aus der Kreisförmigkeit von ${\textstyle U}$ ist.

Beweisschritt 1.2 - Hausdorff-Eigenschaft

Die Eigenschaft ${\textstyle (Q1)}$ $x=0_{V}\Longleftrightarrow \|x\|=0$ einer Quasinorm ergibt sich aus der Hausdorff-Eigenschaft von ${\textstyle V}$ .

Beweisschritt 1.3 - Stetigkeit der Addition

Mit der Stetigkeit der Addition kann man für die gegebene beschränkte Nullumgebung $U$ eine Nullumgebung $U_{o}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{V})$ finden mit

U_{o}+U_{o}\subseteq U

(siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Beweisschritt 1.4 - Stetigkeit der Addition

Da ${\textstyle \{\lambda \cdot U\}_{\lambda >0}}$ eine Nullumgebungsbasis der Topologie ist, kann man für diese $U_{o}$ ein $\lambda _{o}>0$ finden, mit $\lambda _{o}U\subseteq U_{o}$ . Über Einsetzung in die Mengeninklusion erhält man:

\exists _{\displaystyle \lambda _{o}>0}:\underbrace {\lambda _{o}\cdot U} _{\subseteq U_{o}}+\underbrace {\lambda _{o}\cdot U} _{\subseteq U_{o}}\subset U\Longrightarrow U+U\subset \underbrace {\frac {1}{\lambda _{o}}} _{=:K}U.

Für topologische Vektorräume kann man an dieser Stetigkeitskonstante der Addition $K:={\frac {1}{\lambda _{o}}}$ festlegen.

Beweisschritt 1.5 - Konkavitätsungleichung

Damit gilt für ${\textstyle \lambda :=\left\|x\right\|+\varepsilon }$ , ${\textstyle \mu :=\left\|y\right\|+\varepsilon }$ mit ${\textstyle \varepsilon >0}$ beliebig:

{\begin{array}{rcl}{\frac {x}{\lambda }},{\frac {y}{\mu }}\in U&\Longrightarrow &{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\cdot {\frac {x}{\lambda }}+{\frac {\mu }{\lambda +\mu }}\cdot {\frac {y}{\mu }}={\frac {x+y}{\lambda +\mu }}\in U+U\\&\Longrightarrow &x+y\in (\lambda +\mu )\cdot (U+U)\subset (\lambda +\mu )(K\cdot U)\\&\Longrightarrow &\left\|x+y\right\|\leq K\cdot (\left\|x\right\|+\left\|y\right\|+2\varepsilon )\end{array}}

Da ${\textstyle \varepsilon >0}$ beliebig gewählt werden kann, folgt die Eigenschaft ${\textstyle (Q3)}$ aus der Definition der Quasinorm.

Beweisschritt 1.6 - Stetigkeit der Multiplikation

Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man für die gegebene beschränkte Nullumgebung $U$ eine Nullumgebung $U_{o}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{V})$ finden mit

U_{o}\cdot U_{o}\subseteq U

(siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Beweisschritt 1.7 - Stetigkeit der Multiplikation

Da ${\textstyle \{\lambda \cdot U\}_{\lambda >0}}$ eine Nullumgebungsbasis der Topologie ist, kann man für diese $U_{o}$ ein $\lambda _{o}>0$ finden, mit $\lambda _{o}U\subseteq U_{o}$ . Über Einsetzung in die Mengeninklusion erhält man:

\exists _{\displaystyle \lambda _{o}>0}:\underbrace {\lambda _{o}\cdot U} _{\subseteq U_{o}}\cdot \underbrace {\lambda _{o}\cdot U} _{\subseteq U_{o}}\subset U\Longrightarrow U\cdot U\subset \underbrace {\frac {1}{\lambda _{o}^{2}}} _{=:K^{2}}U.

Beweisschritt 1.6 - Konkavitätsungleichung

Damit gilt für ${\textstyle \lambda :=\left\|x\right\|+\varepsilon }$ , ${\textstyle \mu :=\left\|y\right\|+\varepsilon }$ mit ${\textstyle \varepsilon >0}$ beliebig:

{\begin{array}{rcl}{\frac {x}{\lambda }},{\frac {y}{\mu }}\in U&\Longrightarrow &{\frac {x}{\lambda }}\cdot {\frac {y}{\mu }}=\in U\cdot U\subseteq {\frac {1}{\lambda _{o}^{2}}}\cdot U\\&\Longrightarrow &x\cdot y\in (\lambda \cdot \mu )\cdot (U\cdot U)\subset (\lambda \cdot \mu )(K^{2}\cdot U)\\&\Longrightarrow &\left\|x\cdot y\right\|\leq K^{2}\cdot (\left\|x\right\|\cdot \left\|y\right\|+\varepsilon \cdot (\varepsilon +\left\|x\right\|+\left\|y\right\|))\end{array}}

Da ${\textstyle \varepsilon >0}$ beliebig gewählt werden kann, folgt die Eigenschaft ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|\leq K^{2}\cdot \left\|x\right\|\cdot \left\|y\right\|}$ für die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. der Quasinorm.

Beweisteil 2:

"' ${\textstyle \Longrightarrow }$ "': Nach Voraussetzung wird die Toplogie ${\mathcal {T}}$ nun durch eine Quasinorm ${\textstyle \left\|\cdot \right\|}$ erzeugt. Damit bilden die ${\textstyle \varepsilon }$ -Kugeln der Quasinorm

\left\{U_{\varepsilon }\subset V\,\colon \,U_{\varepsilon }:={\rm {B}}_{\varepsilon }(0_{V})\wedge \varepsilon >0\right\}{\mbox{ mit }}{\rm {B}}_{\varepsilon }(0_{V}):=\{x\in V\,\colon \,\|x\|<\varepsilon \}

eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen und absorbierenden Mengen.

Beweis 2.1 - Stetigkeit der Skalarmultiplikation

Die Eigenschaft ${\textstyle (Q2)}$ aus Definition der Quasinorm liefert die Stetigkeit der Skalarmultiplikation (siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Beweis 2.2 - Lokalbeschränkheit

${\textstyle U_{1/2}}$ ist eine beschränkte Nullumgebung, denn es gilt

\varepsilon \cdot U_{1/2}\subset U_{\varepsilon }={\rm {B}}_{\varepsilon }(0_{V})=\{x\in V\,\colon \,\|x\|<\varepsilon \}.

Beweis 2.2 - Hausdorff-Eigenschaft

Aus ${\textstyle (Q1)}$ in der Definition der Quasinorm folgt, dass die Topologie Hausdorff'sch ist.

Beweis 2.3 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung

Mit der Stetigkeitskonstante der Addition ${\textstyle K}$ erhält man für ${\textstyle x,y\in U_{1}}$ - also $\|x\|<1+\varepsilon$ und $\|y\|<1+\varepsilon$ für beliebige $\varepsilon >0$ :

\left\|{\frac {1}{2K}}x+{\frac {1}{2K}}y\right\|={\frac {1}{2K}}\left\|x+y\right\|\leq {\frac {K}{2K}}\underbrace {(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|)} _{<2+2\varepsilon }<1+\varepsilon

Beweis 2.4 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung

Die obige Ungleichung liefert nun die gesuchte Mengeninklusion für den Nachweis der Stetigkeit der Addition

{\frac {1}{2K}}U_{1}+{\frac {1}{2K}}U_{1}=U_{\frac {1}{2K}}+U_{\frac {1}{2K}}\subset U_{1+\varepsilon }.

Da die Inklusion für alle $\varepsilon >0$ gilt, erhält man ebenfalls:

{\frac {1}{2K}}U_{1}+{\frac {1}{2K}}U_{1}=U_{\frac {1}{2K}}+U_{\frac {1}{2K}}\subseteq U_{1}.

Also ist die Addition stetig auf ${\textstyle V}$ . $\Box$

Beweis 2.5 - Stetigkeit der Multiplikation - Konkavitätsungleichung

Mit der Stetigkeitskonstante der Addition ${\textstyle K}$ erhält man für ${\textstyle x,y\in U_{1}}$ - also $\|x\|<1+\varepsilon$ und $\|y\|<1+\varepsilon$ für beliebige $\varepsilon >0$ :

\left\|{\frac {1}{K}}x\cdot {\frac {1}{K}}y\right\|={\frac {1}{K^{2}}}\left\|x\cdot y\right\|\leq {\frac {1}{K^{2}}}\underbrace {(\left\|x\right\|\cdot \left\|y\right\|)} _{<1+\varepsilon \cdot (\varepsilon +2)}<1+\varepsilon \cdot (\varepsilon +2)

Beweis 2.6 - Stetigkeit der Multiplikation - Konkavitätsungleichung

Die obige Ungleichung liefert nun die gesuchte Mengeninklusion für den Nachweis der Stetigkeit der Addition

{\frac {1}{K}}U_{1}\cdot {\frac {1}{K}}U_{1}=U_{\frac {1}{K}}\cdot U_{\frac {1}{K}}\subset U_{1+\varepsilon \cdot (\varepsilon +2)}

Da die Inklusion für alle $\varepsilon >0$ gilt, erhält man ebenfalls:

{\frac {1}{K}}U_{1}\cdot {\frac {1}{K}}U_{1}=U_{\frac {1}{K}}\cdot U_{\frac {1}{K}}\subseteq U_{1}.

Also ist die Multiplikation stetig auf ${\textstyle V}$ . $\Box$

Beweis 2.7 - Stetigkeitskonstante Addition und Multiplikation

Der Beweis zeigt ferner, dass die Stetigkeitskonstante der Addition $K$ und die Stetigkeitskonstante der Multiplikation $K^{2}$ ist und dieses $K>0$ für beide inneren Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ von der Konkavität der Topologie gemeinsam abhängen. $\,\,\,\,\,\,\Box$