Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Einführung

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ wird ein topologischer Nullteiler mengentheoretisch über das System der offenen Mengen ${\mathcal {T}}_{A}$ definiert. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, musste man über topologischer Eigenschaften rechtseitigen bzw. linkseitige topologischen Nullteiler über Mengen beschreiben. Ein Kriterium, dass die Eigenschaften $z\in {\mathcal {TNT}}(A)$ bzw. $z\notin {\mathcal {TNT}}(A)$ über Gaugefunktionale, Halbnormen, Quasinormen, $p$-Normen, ... definert ist das Ziel eine Kriteriums zur Charakterisierung der Eigenschaft einer topologischen Nullteilers über Gaugefunktionale

Definition: Rechtsseitiger topologische Nullteiler

Man nennt ${\textstyle z\in A}$ einen rechtsseitigen topologischen Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$), falls es eine Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ gibt, für die gilt:

$$0_{A}\in {\overline {z\cdot (A\setminus U_{0})}}$$

Definition: Linksseitiger topologische Nullteiler

${\textstyle z\in A}$ heißt linksseitger topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$), falls ein ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ existiert, der folgende Eigenschaft erfüllt:

$$0_{A}\in {\overline {(A\setminus U_{0})\cdot z}}$$

Definition: topologische Nullteiler

${\textstyle z\in A}$ ist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$), falls ${\textstyle z}$ ein rechtseitiger oder ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist.

Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$, dann ist ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ (bzw. ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$) genau dann, wenn es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt mit, so dass für alle $\beta \in {\mathcal {A}}$ gilt:

$$\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)\,\,\,\,(\ast )$$

bzw.

$$\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|x\cdot z\right\|_{\beta }=0\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)$$

Beweis

Sei ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ und ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ wie in der obigen Definition gewählt. Da das System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ die Topologie auf ${\textstyle A}$ erzeugt, gibt es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ein ${\textstyle \varepsilon >0}$, so dass die ${\textstyle \varepsilon }$-Kugel ${\textstyle U_{\alpha }:={\rm {B}}_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{A})}$ des ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionals ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ eine Teilmenge von ${\textstyle U_{0}}$ ist.

Mengenbeziehungen

Dann gilt:

${\begin{array}{rcl}U_{\alpha }\subset U_{0}&\Longrightarrow &A\setminus U_{0}\subset A\setminus U_{\alpha }\\&\Longrightarrow &0_{A}\in {\overline {z\cdot (A\setminus U_{\alpha })}}\\&\Longrightarrow &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq \varepsilon }\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}\\&\Longrightarrow &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}\\&\Longrightarrow &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}\\\end{array}}$

Umkehrung

Gilt umgekehrt die oben genannte Bedingung ${\textstyle (\ast )}$, wählt man ${\textstyle U_{\alpha }:={\rm {B}}_{1}^{\alpha }(0_{A})}$ als die 1-Kugel um ${\textstyle 0_{A}}$ des ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionals ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$. Wendet man die Bedingung auf $\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}$ an, folgt aus $\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1$ auch $x\notin U_{\alpha }$ bzw. $x\in A\setminus U_{\alpha }$ und man erhält ${\textstyle 0_{A}\in {\overline {z\cdot (A\setminus U_{\alpha })}}}$. $\,\,\,\Box$

Bemerkung: Übertragen auf rechtsseitige TNT

Insbesondere gilt für alle ${\textstyle \gamma \geq \alpha }$ die Teilmengenbeziehung ${\textstyle {\mathrm {B} }_{1}^{\gamma }(0_{A})\subset {\mathrm {B} }_{1}^{\alpha }(0_{A})}$ und damit auch

$$\inf _{\left\|x\right\|_{\gamma }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}.$$

Für ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$ bzw. ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ kann man die Aussage von dem Lemma analog übertragen.

Negation des TNT-Kriteriums

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$, dann kann man ${\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ (bzw. ${\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,\varepsilon _{\alpha }>0}:\,\,\,\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=\varepsilon _{\alpha }>0\,{\mbox{ mit }}\,z\notin {\mathcal {TNT}}_{r}(A)\,\,\,\,(\ast )$

bzw.

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,\varepsilon _{\alpha }>0}:\,\,\,\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|x\cdot z\right\|_{\beta }=\varepsilon _{\alpha }>0\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)$

Lemma: Negation des TNT-Kriteriums

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$, dann kann man ${\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ (bzw. ${\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\gamma \in {\mathcal {A}},\,D_{\alpha }>0}:\,\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\cdot \left\|z\cdot x\right\|_{\gamma }\,{\mbox{ mit }}\,z\notin {\mathcal {TNT}}_{r}(A)\,$

bzw.

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,D_{\alpha }>0}:\,\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\cdot \left\|x\cdot z\right\|_{\gamma }\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)$

Beweisidee - absolut homogene Gaugefunktionale

• Führen Sei für jedes $\alpha$ eine Fallunterscheidung durch für $\|x\|_{\alpha }=0$ und $\|x\|_{\alpha }\not =0$.
• Normalisieren Sie dann für $\|x\|_{\alpha }\not =0$ den Vektor ${\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}$

Beweisaufgabe für Studierende

• Beweisen Sie das Lemma zur Negation des TNT-Kriteriums für Gaugefunktionale über Verwendung des Topologisierungslemmas für Algebren und der Stetigkeit der Multiplikation.
• Wie verändert sich die Beweisführung, wenn die Topologie über $p$-Gaugefunktionale (z.B. submultiplikative $p$-Halbnormen) erzeugt wird.

Beweisidee - absolut p-homogene Gaugefunktionale

• Führen Sei für jedes $\alpha$ eine Fallunterscheidung durch für $\|x\|_{\alpha }=0$ und $\|x\|_{\alpha }\not =0$.
• Normalisieren Sie dann für $\|x\|_{\alpha }\not =0$ den Vektor ${\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{\alpha }^{\frac {1}{p}}}}$

Siehe auch

• Topologische Nullteiler
• Gaugefunktional
• Topologisierungslemma für Algebren
• B-Regularität
• P-Regularität
• MLC-Regularität
• MPC-Regularität

Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium%20f%C3%BCr%20Gaugefunktionale
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.