Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen

Einführung

Für die Erzeugung einer Algebraerweiterung von pseudokonvexen topologischen Algebren $A\in {\mathcal {PC}}$ gibt es ein System von $p$-Halbnormen, die die Topologie erzeugen. Für die Topologisierung der Potenzreihenalgebra $A[t]\in {\mathcal {PC}}$ werden die Aussagen für die Algebraerweiterung aber über Quasihalbnormen geführt. Daher ist es wesentlich einen Zusammenhang zwischen Quasihalbnormen und $p$-Halbnormen herzustellen. Das Korrespondenz-Lemma stellt diese Beziehung zwischen einer $p$-Halbnorm und einer Quasinorm her.

Definition: p-Norm

Sei $V$ ein $\mathbb {K}$-Vektorraum und $\|\cdot \|\colon V\to {\mathbb {R} }_{0}^{+},\;x\mapsto \|x\|,$ eine Abbildung. Erfüllt $\|\cdot \|$ die folgenden Axiome Axiome P1,P2, P3, so heißt $\|\cdot \|$ $p$-Norm auf $V$ mit $0<p\leq 1$.

• (P1) Definitheit: $\|x\|=0\;\Rightarrow \;x=\mathbb {0}$ für alle $x\in V$,
• (P2) p-Homogenität: $\|\lambda \cdot x\|=|\lambda |^{p}\cdot \|x\|$ für alle $x\in V$ und $\lambda \in \mathbb {K}$
• (P3) Dreiecksungleichung: $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ für alle $x,y\in V$.

Gilt (P1) nicht, so nennt man $\|\cdot \|$ $p$-Halbnorm.

Einheitskreis einer p-Norm

Der Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist im $\mathbb {R} ^{2}$ eine Astroide.

Einheitskreis p-Norm als Abrollkurve

Aufgabe

Sei $V=\mathbb {R} ^{2}$ der zweidimensionale $\mathbb {R}$-Vektorraum und $\|\cdot \|_{p}\colon V\to {\mathbb {R} }_{0}^{+},\;x\mapsto \|x\|_{p},$ eine Abbildung, die mit $p={\frac {1}{2}}$ wie folgt definiert ist.

$\|x\|_{p}=\|(x_{1},x_{2})\|_{p}:=|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}$

• Zeigen Sie, dass $\|\cdot \|$ eine $p$-Norm ist. Warum erzeugt die $p$-Norm die gleiche Topologie, wie die Norm $\|x\|_{2}=\|(x_{1},x_{2})\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}$?
• Skizzieren Sie die folgende Menge $S_{1}:=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,\|(x_{1},x_{2})\|=1\}$ und $S_{2}:=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,\|(x_{1},x_{2})\|\leq 1\}$

Hinweis: Berechnen Sie $S_{1}$ zunächst für $x_{1},x_{2}>0$ und $\|x\|_{2}=1$!

Definition: Quasi(halb-)norm

Sei $V$ ein $\mathbb {K}$-Vektorraum und $\|\cdot \|\colon V\to {\mathbb {R} }_{0}^{+},\;x\mapsto \|x\|,$ eine Abbildung. Erfüllt $\|\cdot \|$ die folgenden Axiome Axiome Q1,Q2, Q3, so heißt $\|\cdot \|$ Quasinorm auf $V$ mit Konkavitätskonstante $K\geq 1$.

• (Q1) Definitheit: $\|x\|=0\;\Rightarrow \;x=\mathbb {0}$ für alle $x\in V$,
• (Q2) absolute Homogenität: $\|\lambda \cdot x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ für alle $x\in V$ und $\lambda \in \mathbb {K}$
• (Q3) Konkavitätsungleichung: $\|x+y\|\leq K\cdot (\|x\|+\|y\|)$ für alle $x,y\in V$.

Gilt (Q1) nicht, so nennt man $\|\cdot \|$ Quasihalbnorm.

Bemerkung: konvex-konkav

Halbnormen erzeugen konvexe Nullumgebungen ist. Die Nullumgebungen von Quasihalbnormen bzw. $p$-Halbnormen sind nicht notwendigerweise konvex bei $K>1$ bzw. $p<1$. Für $K=1$ bzw. $p=1$ erhält man die Standarddefinition für Halbnormen bzw. Normen. Betrachtet man den Einheitskreis einer $p$-Norm mit $p={\frac {2}{3}}$, so sieht man das die Einheitskugel nicht konvex ist. Durch den Zusammenhang durch den Korrespondenz-Satz und der Konkavitätskonstante in der Definition der Quasinorm ist zu erkennen, welchen geometrischen Einfluss das $p<1$ auf die Konkavität der Einheitskugel der $p$-Norm hat.

Korrespondenz-Lemma für p-Normen und Quasinormen

Ein topologischer Vektorraum $(V,{\mathcal {T}})$ mit der Topologie ${\mathcal {T}}$, dann $(V,{\mathcal {T}})$ genau dann $p$-normierbar, wenn die Topologie ${\mathcal {T}}$ durch eine Quasinorm $\|\cdot \|_{Q}$ erzeugt werden kann.

Beweis

Um zu zeigen, dass ein Vektorraum mit einer Topologie ${\mathcal {T}}$ genau dann $p$-normierbar ist, wenn die Topologie auch durch eine Quasinorm erzeugt werden kann, müssen wir zwei Richtungen beweisen:

• Beweisteil 1 (PN-QN): Wenn die Topologie ${\mathcal {T}}$ durch eine $p$-Norm erzeugt wurde, dann kann man ${\mathcal {T}}$ auch durch eine Quasinorm erzeugen.
• Beweisteil 2 (QN-PN): Wenn die Topologie ${\mathcal {T}}$ durch eine Quasinorm erzeugt wurde, dann kann man ${\mathcal {T}}$ auch durch eine $p$-Norm erzeugen.

Beweisteil 1 (PN-QN)

Wenn der Vektorraum durch eine $p$-Norm (PN) topologisiert wurde, dann kann diese Topologie auch durch eine Quasinorm (QN) erzeugt werden.

Schritt 1.1 - Definition der Quasinorm

Sei $(V,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Vektorraum mit einer Topologie ${\mathcal {T}}$ und sei $\|\cdot \|_{p}$ eine $p$-Norm auf $X$. Dann definieren wir eine Quasinorm $\|\cdot \|_{q}$ auf $X$ durch:

$\|x\|_{q}=\|x\|_{p}^{\frac {1}{p}}$

Damit ist $\|\cdot \|_{q}$ absolut homogen.

Schritt 1.2 - Subadditiviät mit Konkavitätskonstante

Da $\|\cdot \|_{p}$ eine $p$-Norm ist, gilt mit dem Konkavitätsmodul und $K:=2^{{\frac {1}{p}}-1}$:

$\|x+y\|_{p}^{\frac {1}{p}}\leq (\|x\|_{p}+\|y\|_{p})^{\frac {1}{p}}\leq \underbrace {2^{\frac {1}{p}}} _{\geq 1}\cdot (\|x\|_{p}^{\frac {1}{p}}+\|y\|_{p}^{\frac {1}{p}})$

Durch die Definition von $\|\cdot \|_{q}$ erhält man:

$\|x+y\|_{q}\leq 2^{\frac {1}{p}}(\|x\|_{q}+\|y\|_{q})=K\cdot (\|x\|_{q}+\|y\|_{q})$

Dies zeigt, dass $\|\cdot \|_{q}$ eine Quasinorm auf $X$ ist.

Beweisteil 2 (QN-PN)

Wenn der Vektorraum durch eine Quasinorm (QN) topologisiert wurde, dann kann diese Topologie auch durch eine $p$-Norm (PN) erzeugt werden.

Schritt 2.1 - Konkavitätskonstante der Quasinorm

Da $\|\cdot \|_{q}$ eine Quasinorm ist, gilt:

$\|x+y\|_{q}\leq K\cdot (\|x\|_{q}+\|y\|_{q})$

für eine Konstante $K$. Man setzt $p$ so, dass $K=2^{\frac {1}{p}}$ erfüllt sein soll. Also gilt ${\textstyle p:={\frac {1}{\log _{2}(K)}}={\frac {\ln(2)}{\ln(K)}}}$ mit ${\textstyle \log _{2}(K)={\frac {\ln(K)}{\ln(2)}}}$.

Schritt 2.2 - Definition der p-Norm

Sei $(V,{\mathcal {T}})$ ein Vektorraum mit einer Topologie ${\mathcal {T}}$ und sei $\|\cdot \|_{q}$ eine Quasinorm auf $V$. Dann definieren wir eine $p$-Norm $\|\cdot \|_{p}$ auf $V$ durch:

$\|x\|_{p}=\|x\|_{q}^{1/p}$

Durch die Definition von $\|\cdot \|_{p}$ erhalten wir:

$\|x+y\|_{p}^{p}\leq K^{p}\cdot (\|x\|_{p}^{p}+\|y\|_{p}^{p})$

Dies zeigt, dass $\|\cdot \|_{p}$ eine $p$-Norm auf $X$ ist.

Insgesamt wurde gezeigt, dass ein Vektorraum mit einer Topologie ${\mathcal {T}}$ genau dann $p$-normierbar ist, wenn dieser auch durch eine Quasinorm normiert werden kann.

Bemerkung

Der Beweis nach Köthe wird in dem Abschnitt zur ${\mathcal {P}}$-Regulärität für lokalbeschränkte Algebren benötigtt.

Korrolar - Korrespondenz-Lemma

Ein topologischer Vektorraum $(V,{\mathcal {T}})$ mit der Topologie ${\mathcal {T}}$. Dann gilt: Ein Teilsystem der Topologie ${\mathcal {T}}_{o}\subseteq {\mathcal {T}}$ wird genau dann durch eine $p$-Halbnorm erzeugt, wenn das System der offenen ${\mathcal {T}}_{o}$ auch durch eine Quasihalbnorm $\|\cdot \|_{Q}$ erzeugt werden kann.

Beweis

Die Argumentation im Beweis zum Korrespondenz-Lemma für $p$-Normen und Quasinormen nutzt die Hausdorff-Eigenschaft der Topologie nicht, die durch die Bedingung

• $\|x\|=0\Longleftrightarrow x=0_{V}$ bzw.
• $\|x\|_{Q}=0\Longleftrightarrow x=0_{V}$

über das Norm bzw. Quasinorm ausgedrückt werden. Daher kann man die Beweisführung ebenfalls für ein Teilsystem der Topologie führen und erhält die Aussage für $p$-Halbnormen und Quasihalbnormen.

Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume

Ein topologischer Vektorraum $(V,{\mathcal {T}})$ mit der Topologie ${\mathcal {T}}$ ist genau dann pseudokonvex, wenn die Topologie ${\mathcal {T}}$ durch eine System $\|\cdot \|_{\alpha }^{(Q)}$ Quasihalbnormen topologisiert werden kann

Beweis

Betrachtet man nun eine ${\mathcal {PC}}$-Algebra mit $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ als $p$-Halbnormensystem, so erzeugt jede einzelne p-Halbnorm $\|\cdot \|_{\alpha }$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein lokalbeschränktes, aber nicht notwendig Hausdorff’sches, topologisches Teilsystem ${\mathcal {T}}_{\alpha }\subset {\mathcal {T}}$ von offenen Mengen der Ausgangstopologie ${\mathcal {T}}$.

Beweis 1: Anwendung des Korrespondenz-Lemmas

Dieses Teilsystem kann man mit dem Korrespondenz-Satz für $p$-Normen und Quasinormen auch durch eine Quasihalbnorm $\|\cdot \|_{\alpha }^{(Q)}$ erzeugen, denn die Hausdorff-Eigenschaft ist für die Argumentation im Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen und Quasihalbnorm nicht von Bedeutung. Damit gelten die Ergebnisse nicht nur für $p$-Normen sondern auch für $p$-Halbnormen.

Beweis 2: Teilsystem offener Mengen der Topologie

Daher kann man jede p-Halbnorm $\|\cdot \|_{\alpha }$ durch die entsprechende Quasihalbnormen $\|\cdot \|_{\alpha }^{(Q)}$ ersetzen und man erzeugt durch diese Quasinorm das gleiche Teilsystem ${\mathcal {T}}_{\alpha }\subset {\mathcal {T}}$ der Ausgangstopologie. Die Topologie kann auch durch ein korrespondierendes Quasihalbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}^{(Q)}$ erzeugt werden. $\Box$

Beweis 3: Hausdorff-Eigenschaft und Definitheit eines Gaugefunktionals

Die Definitheit des p-Gaugefunktionals und die Hausdorff-Eigenschaft sind äquivalent. Erzeugt die Topologie insgesamt einen Hausdorff-Raum, dann muss man die Punktetrennung durch Topologie durch das System der $p$-Halbnormen ausdrücken und man findet für alle $x\not =0_{_{V}}$ mindestens eine $p$-Halbnorm bzw. Quasihalbnorm mit $\|x\|_{\alpha }\not =0$. Da jeden eine korrespondieren Quasihablnorm besitzt, ist auch Quasihalbnorm von 0 verschieden. Dies gilt umgekehrt auch die bestimmt Quasihalbnorm einen von 0 verschiedenen Wert liefert.

Bemerkung

Für das Korollar wendet man den Korrespondenzsatz auf ein System mit nur einer $p$-Norm an, das den pseudokonvexen Raum topologisiert. Der Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume liefert dann ein System mit einer Quasinorm, das die gleiche Topologie erzeugt. In den Vorgehensweisen zur ${\mathcal {P}}$-Regularität werden sowohl für

• p-Normen eine Charakterisierung der ${\mathcal {P}}$-regulären Elemente vorgenommen als auch die
• P-Regularität über Algebraerweiterungen mit Quasinormen dargestellt.

Dies bereitet die Charakterisierung der PC-Regularität über Quasihalbnnormen vor. Für die Charakterisierung reicht der Nachweis über einen der beiden Wege (p-Norm oder Quasinorm)

Siehe auch

• Normen, Metriken, Topologie
• Gaugefunktionale
• Satz - Quasinormierbarkeit
• Satz - p-Normierbarkeit
• p-konvexe Subadditivität
• Korrespondenzlemma - Quasihalbnormen und p-Halbnormen
• P-Regularität
• P-Regularität über p-Normen
• P-Regularität über Quasinormen
• PC-Regularität
• Stetigkeitskonstante der Addition

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