Wenn wir die
-Regularität eines Elementes
für eine multiplikativ lokalkonvexe topologische Algebra
sprechen, suchen wir nach einer multiplikativ lokalkonvexen Algebraerweiterungen
von
in der
invertierbar ist. Dabei besteht
und

aus einem System von submultiplikativen Halbnormen, die die Topologie auf
bzw.
erzeugen.
Zielsetzung einer multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung
zu einer gegebenen topologischen Algebra
mit
ist es, die gegebene multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element
in der multiplikativ lokalkonvexen Algebraerweiterung
besitzt. Als topologieerzeugende
-Gaugefunktionale werden hier Halbnormensystem
und
verwendet.
Für kommutative multiplikativ lokalkonvexe Algebren
mit unital positivem System von erhält man folgende Charakterisierung:
-singulär
(multiplikativer topologischer Nullteiler)
-regulär
für alle
und ein
mit
für alle 
Dabei sind
submultiplikative Halbnormen.
Algebraerweiterung
von
ist hier eine mulitplikative lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element
zu einem gegebenen
enthält.
- Negieren Sie die Aussage, dass
kein topologischer Nullteiler ist und formulieren
für ein submultiplikative Halbnormensystem
.
- Zeigen Sie, dass in einer
-Algebra mit
-regulär ist, wenn folgende Bedingung gilt (siehe Zelazko 1971[1])
.
- Zeigen Sie mit der Charakterisierung der
-Regularität, dass die
-singulären Elemente genau die topologischen Nullteiler sind.
Multiplikative lokalkonvexe Algebraerweiterung
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Sei
die Klasse der multiplikativen lokalkonvexen unitalen Algebren und
. Die Algebraerweiterung
bzw.
-Erweiterung von
benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus
mit:
, wobei
ist das Einselement von
und
das Einselement von
ist.
ist homöomorph zu
; d.h.
und
sind stetig.
Algebraisomorphismus in den Quotientenräumen
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Der Algebraisomorphismus wird über normierte Quotientenalgebren
definiert. wobei mit :
mit
bezeichnet und

Algebraerweiterung von MLC-Quotientenalgebren
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Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen.
Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung
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- Im allgemeinen identifiziert man
mit
und schreibt
. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus
mit Elementen
in einem Quotientenraum
identifiziert werden.
- Sei
eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von
auf
und
eine Nullumgebungsbasis von
, dann kann man die Homöomorphie zwischen
und
wie immer über die Topologie ausdrücken:

Betrachtet man die Halbnormen
und
für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

Für die Konstruktion des Algebraisomorphismus geht man wie folgt vor:
- (KA1) man konstruiert zunächst einen Algebrahomomorphismus
und zeigt, dass dieser stetig ist.
- (KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist

- (KA3) man definiert mit
, die Umkehrabbildung
und zeigt, dass
ebenfalls stetig ist (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).
Verwendung der Charakterisierung B-regulärer Elemente
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Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren
und nutzen die Charakterisierung
-Regularität für die
-Erweiterung von
.
Ohne Einschränkung seien die submultiplikativen Halbnormen unital positiv, d.h.
für alle
. Falls das nicht der Fall ist, geht man zu einem äquivalenten Halbnormensystem über
über. Weil
Hausdorffraum ist, gibt es ein
mit
. Man definiert dann
und

als Minkowski-Funktional von
und
, da
und damit auch
submultiplikativ sind.
ist eine offene Menge in
, da
als Schnitt von zwei offenen Mengen definiert ist und der endliche Schnitt von offenen Mengen in einer Topologie ist wieder offen.
Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - unital positiv
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Zeigen Sie, dass die Halbnormensysteme
und
äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind!
Aufgabe - TNT-Negation und unital positives Halbnormensystem
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Ohne Einschränkung sei das gegebene Halbnormensystem
auf einer unital positiven
-Algebra
. Ferner sei
kein topologischer Nullteiler (
). Zeigen Sie, dass für alle
ebenfalls
gilt.
Topologische Nullteiler in MLC-Algebren
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Wenn
erfüllt ist, gibt es ein
, sodass für alle
gilt

Topologische Nullteiler in Quotientenalgebren
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Damit ist insbesondere für
mit
(d.h.
für alle
die folgende Bedingung erfüllt

Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 1
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Man erhält die folgenden Abschätzung für
, d.h.
für alle
und alle
:

Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 2
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Insgesamt erhält man für
die äquivalente Bedingung:

Insbesondere gilt für alle
.
Also gibt es mindestens ein
, sodass für alle
gilt:
.
Wenn man die
-Singularität betrachtet, gibt es zu jedem
ein
mit
, sodass
und es gilt mit der Eigenschaft
erhält man die Eigenschaft:
.
Mit der Eigenschaft
erhält man zunächst einmal die Abschätzung:
.
Vergleich zur Charakterisierung der MLC-Singularität
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Durch die Negation erhält man, dass es zu jedem
ein
, in dem
also kein topologischer Nullteiler ist. Diese Negation liefert nach
.
Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - TNT
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Wir definieren darüber nun ein weiteres Halbnormensystem
aus submultiplikativen Halbnormen wie folgt über die Eigenschaft von
, kein topologischer Nullteiler zu sein:

, wenn
und
mit
die obige Gleichung
erfüllt. Zeigen Sie, dass
und
äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind
Sei
eine Indexmenge. In der folgenden Charakterisierung der
-Regularität werden Produkträume definiert bzw. als Algebraerweiterung konstruiert. Dabei wird folgende Kurzschreibweise des Produktraumes
verwendet.

Beweisidee: Konstruktion der MLC-Algebraerweiterung
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Ausgehend von
wird ein Produktraum
von normierten Algebren
betrachtet und topologisiert. Auf die normierten Algebren wird mit der Eigenschaft
die gesuchte Eigenschaft
geliefert und auf alle normierten Algebren
angewendet, um eine Algebraerweiterung
zu erhalten, in der
invertierbar ist.
Algebraisomorphismus in den Quotientenräumen
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Der Algebraisomorphismus wird dann mit
,
mit
bezeichnet.
Algebraerweiterung von MLC-Quotientenalgebren
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Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen.
Schritt 1: Übergang zu Quotientenräumen
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Man betrachtet für jede submultitplikative Halbnorm
das Ideal

Dann definiert man
als Quotientenraum
.
Aufgabe: Idealeigenschaften nachweisen
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Zeigen Sie, dass
ein Ideal in
und
eine Algebra.
Schritt 2: Topologisierung der Quotientenräume
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Man verwendet als Halbnorm auf dem Quotientenraum die
mit
![{\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }:=\|\!|\underbrace {x+N_{\alpha }} _{=[x]_{\alpha }}|\!\|_{\alpha }=\displaystyle \inf _{u\in N_{\alpha }}\|x+u\|_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb55d1f493b64f6e8ce6d129546e894e8fe3bf4)
Aufgaben: Submultiplikative Halbnorm im Quotientenraum
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Zeigen Sie, dass
eine submultiplikative Norm auf dem Quotientenraum
ist und
gilt.
Für die normierten Algebren
nutzt man die Charakterisierung der
-Regularität und erhält Algebraerweiterungen
in denen
das inverse Element
mit dem Algebraisomorphismus der Einbettung
mit einem Inversen Element
zu
d.h.
![{\displaystyle z_{\alpha }\cdot b_{\alpha }=b_{\alpha }\cdot z_{\alpha }=e_{\alpha }=t_{\alpha }(\underbrace {e_{A}+N_{\alpha }} _{[e_{A}]_{\alpha }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f83ed37047d9e04342341c6157a418e3e298eb)
Aufgabe: Positivität der Halbnorm für das inverse Element
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Zeigen Sie, dass
und
für alle
erfüllt sind, wenn
ist. Nutzen Sie dazu die Eigenschaft, dass das Halbnormensystem
unital positiv ist und mit
eine Isometrie vorliegt.
Aufgabe: Unitale Positivität der Halbnormen und inverse Elemente in Quotientenräumen
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Zeigen Sie, dass in einem unital positiven multipliklativen Halbnormensystem
ein Element
genau dann in
-regulär ist, wenn es
-regulär in jeder normierten Algebra
für alle
ist mit:
![{\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }:=\|\!|\underbrace {x+N_{\alpha }} _{=[x]_{\alpha }}|\!\|_{\alpha }=\displaystyle \inf _{u\in N_{\alpha }}\|x+u\|_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb55d1f493b64f6e8ce6d129546e894e8fe3bf4)
Schritt 4: Definition des Algebraisomorphismus
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Der Algebraisomorphismus
setzt sich aus zwei verketteten Abbildungen
zusammen mit
:
mit ![{\displaystyle \tau _{1}(x)=([x]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9405792c8b8d4507cb76212b4417c52beb9c14a6)
mit ![{\displaystyle \tau _{2}(x')=\tau _{2}\left(([x]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\right)=(x_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936a71852ef6cab502673df6638c02562ea463c2)
Aufgabe: Surjektivität und Produktraum
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Zeigen Sie zunächst, dass
und
Algebraisomorphismen von Algebraerweiterungen sind!
Aufgabe: Surjektivität und Produktraum
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Ersetzt man den Wertebereich
durch den Produktraum der Quotientenräume
, so ist die modifizierte Abbildungen
keine Algebraisomorphismen mehr.
Begründen Sie, warum ist
mit geändertem Wertebereich nicht mehr surjektiv ist, wenn
mehr als einen Index enthält?
Schritt 5: Neutrales Element im Produktraum
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Das neutrale im Produktraum erhält man damit über
mit:
.
Die Invertierbarkeit im Produktraum
erhält man über
.
Bermerkung: Notation der Elemente in der Algebraerweiterung
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Man muss bei der Notation in der Algebraerweiterung folgenden Notationen unterscheiden:

mit 
In der zweiten Schreibweise gibt es in jeder Komponente
des Produktraumes
den gleichen Repräsentanten
, während in der ersten Schreibweise für die Notation des Inversen die Repräsentanten
für jedes
unterschiedlich sein können.
Nach Konstruktion der Algebraerweiterung der normierten Algebra
Algebraerweiterungen auf
nach der Charakterisierung der
-Regularität ist die Algebraerweiterung eine Isometrie, d.h. für alle
gilt für alle
:
![{\displaystyle \|\!|\,([x_{\alpha }]_{\alpha })_{\alpha _{0}\in {\mathcal {A}}}\,|\!\|_{\alpha }=\|\!|\tau _{2}\left(\,([x_{\alpha }]_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}\,\right)|\!\|_{B_{\alpha _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8744b4ecc2a1818e4eb22379769b796b121bd039)
Schritt 6: Topologisierung der Algebraerweiterung
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Für alle
definiert man mit
und für
setzt man
.
Aufgabe: Zeigen Sie, dass der Algebraisomorphismus
eine Isometrie ist, d.h.

Schritt 7: Inverses Element in der Algebraerweiterung
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Das inverse Element von
ist dann in
mit einem inversen Element
, das komponentenweise als
definiert wird mit
für alle
.
Die Vollständigkeit, die für die B-Regularität noch betrachtet wurde, spielt hier für die
-Regularität keine Rolle, da nur das Vorgehen für Konstruktion einer Algebraerweiterung zu einer normierten Algebra
benötigt wird.
Der Beweis der Charakterisierung
-Regularität wurde von Zelazko bereits 1971 gezeigt[1] als Charakterisierung der permant singulären Elemente von
-Algebren.
Der Nachweis der Charakterisierung der
-Regularität ist ein Spezialfall der
-Regularität für multplikative pseudokonvexe Räume, wobei die
-Normen mit
homogen sind und damit die Eigenschaften einer Norm erfüllt.
Bei der
-Regularität wurde die Algebraerweiterung
über die
-Regularität, die Definition von isometrischen Algebraisomorphismen und der Betrachtung von Quotientenräume konstruktiert, in der ein
invertierbar ist.
Direkte Konstruktion der Algebraerweiterung
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Eine direkte Konstruktion der Algebraerweiterung über die topologische Eigenschaften von
ist für
-Regularität ebenfalls möglich. Dabei wird wieder die Polynomalgebra
topologisiert und dann der Quotientenraum
betrachtet, wobei dann
das Hauptideal
ist und
ein Repräsentant des Nullvektors
in der Algebraerweiterung
ist. Der direkte Beweis wird bei der Charakterisierung der
-Regularität geführt und kann mit
auf
-Regularität übertragen werden.
- ↑ a b Zelazko Wieslaw, On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37 (1971), S. 181-190
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