Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 3

Aufgabe

Skizziere ein Inklusionsdiagramm für sämtliche Teilmengen einer dreielementigen Menge.

Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen ${}25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Aufgabe

Finden Sie in Ihrem Alltagsleben möglichst viele Relationen.

(Suchen Sie auch in Ihrem (Zweit-)Studienfach.)

Aufgabe

Es sei ${}S$ die Menge der Städte und ${}A$ die Menge der Autobahnen und ${}L\subseteq S\times A$ die in Beispiel 3.2 beschriebene Relation.

Beschreibe formal die Menge ${}T$ derjenigen Städte, die an mindestens einer Autobahn liegen.

Beschreibe formal die Menge ${}U$ derjenigen Städte, die an mindestens zwei Autobahnen liegen.

Interpretiere die Aussage

$\forall s_{1}\forall s_{2}\exists a(s_{1}La\wedge s_{2}La),$

wobei ${}s_{1}$ und ${}s_{2}$ aus ${}T$ seien. Ist die Aussage wahr?

Formuliere formal die Aussage, dass zwei Städte stets durch maximal zwei Autobahnen miteinander verbunden sind (man darf annehmen, dass jedes Autobahnkreuz an mindestens einer Stadt liegt).

Aufgabe

Erstelle eine Tabelle für die Inzidenzrelation zu einer ${}0,1,2$ und ${}3$-elementigen Menge.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge. Bestimme die Anzahl der Elemente in der Inzidenzrelation zu ${}M$.

Aufgabe

Beschreibe, wie sich die Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und antisymmetrisch einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ in der Relationstabelle zu ${}R$ widerspiegeln.

Aufgabe

Auf den ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?

Aufgabe

Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem ${}8\times 8$-Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den ${}64$ Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem ${}3\times 3$-Schachbrett aus?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ mit den Äquivalenzklassen ${}[x]$. Es sei ${}I$ die Menge aller Äquivalenzklassen. Zeige folgende Aussagen.

1. Es ist ${}x\sim y$ genau dann, wenn ${}[x]=[y]$ ist, und dies gilt genau dann, wenn ${}[x]\cap [y]\neq \emptyset$.
2. ${}M=\bigcup _{x\in I}[x]$ ist eine disjunkte Vereinigung.

Aufgabe

Es sei ${}V$ eine Menge von Aussagenvariablen und ${}S=L^{V}$ die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von ${}V$ ausgehend mittels der Junktoren ${}\neg ,\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$ und mit Klammern „sinnvoll“ basteln kann. Zeige, dass die Beziehung

$s\sim t,{\text{ falls }}s\leftrightarrow t{\text{ eine Tautologie ist}},$

eine Äquivalenzrelation auf ${}S$ definiert. Zeige, dass sowohl alle Tautologien als auch alle Kontradiktionen eine Äquivalenzklasse bilden. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt diese Äquivalenzrelation, falls ${}V$ ${}n$ Elemente besitzt?

Aufgabe

Wir studieren die Relation „kann gut leiden“ in verschiedenen Dreier-WGs, die wir durch Relationstabellen ausdrücken, wobei in der Leitspalte das grammatische Subjekt steht. Untersuche die einzelnen Relationen hinsichtlich der Eigenschaften reflexiv, transitiv (anti-)symmetrisch. Welche WGs sind von ihrer Kann-gut-leiden-Relation her als gleichartig anzusehen, welche als verschieden? Wie sehen die Begründungen dafür aus? Man gebe einzelnen WG-Typen einen passenden Namen. Wie viele WG-Typen gibt es überhaupt? (Zur Einstimmung auf die letzte Frage kann man die Situation bei einer Zweier-WG betrachten. Mit welcher Strategie kann man die Beantwortung dieser Frage geschickt auf mehrere Leute verteilen?)

	Anna	Berta	Hans
Anna		x	x
Berta	x	x
Hans	x	x	x

	Andrea	Bernd	Heinz
Andrea	x
Bernd		x
Heinz			x

	Anja	Ben	Horst
Anja	x	x	x
Ben	x	x	x
Horst	x	x	x

	Hinz	Kunz	Schlonz
Hinz	x	x	x
Kunz		x
Schlonz	x	x	x

	Hänsel	Gretel	Hexe
Hänsel	x	x
Gretel	x	x
Hexe			x

	Oma	Wolf	Rotkäppchen
Oma	x		x
Wolf		x
Rotkäppchen	x		x

	Malte	Laurids	Brigge
Malte	x
Laurids	x	x	x
Brigge	x	x	x

	Rainer	Maria	Rilke
Rainer	x	x
Maria	x	x
Rilke

	Os	Na	Brück
Os		x
Na	x	x	x
Brück	x	x	x

	Darius	Barbara	Felapton
Darius			x
Barbara	x	x	x
Felapton	x	x	x

	Jan	Jens	Jennifer
Jan
Jens
Jennifer

	Hase	Fuchs	Igel
Hase		x
Fuchs			x
Igel	x

Aufgabe

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von ${}A$ über ${}B$ durch einen Pfeil von ${}A$ nach ${}B$ (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.

Definiere einen Isomorphiebegriff für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?