Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 3/kontrolle
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde einen Primfaktor der Zahl .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung der Gleichung
die Gestalt mit einer eindeutig bestimmten Zahl besitzt.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige durch ein Beispiel, dass die in Aufgabe ***** {{:Kurs:Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Erste Relation/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Erste Relation/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} bewiesene Aussage ohne die Voraussetzung teilerfremd nicht stimmt.
In der folgenden Aufgabe wird der Logarithmus verwendet. Für Eigenschaften dieser Funktion, die aus der Anfängervorlesung bekannt ist, siehe das Merkblatt.
Aufgabe (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die reellen Zahlen als -Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Bleibt das Ergebnis gültig, wenn man den natürlichen Logarithmus durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt?
Aufgabe (3 (2+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
.
a) Finde aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ), die alle nicht prim sind.
b) Finde unendlich viele solcher primfreien -„Intervalle“.