Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 4

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz ${}12x=3\mod 21$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Rest von ${}27!$ modulo ${}31$ .

Aufgabe (1-4 Punkte)

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Operationstafeln für Restklassenringe von Z

und erstelle für einen der angeführten Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$ im entsprechenden Link Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation (kategorisiere!).

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler ${}k=2,3,5,9,11$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ${}a^{p}-a$ ein Vielfaches von ${}p$ für jede ganze Zahl ${}a$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Tipp: Benutze Aufgabe 3.2.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$ . Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

{}f(a)=g(a)\,

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}f(x)=x^{7}+2x^{3}+3x+4\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}[x]$ . Finde ein Polynom ${}g(x)\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}[x]$ vom Grad ${}<5$ , das für alle Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(5)$ mit ${}f(x)$ übereinstimmt.