Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 6

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Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle primitiven Elemente von .


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe für die Einheitengruppe explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl derart, dass zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich ist, wobei die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn nicht zyklisch ist?


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Primzahl und . Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung


Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

a) Es sei ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl und . Zeige, dass das Potenzieren

genau dann eine Bijektion ist, wenn und teilerfremd sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl und der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe

in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche diese Konstruktion einen Körper liefert.


Aufgabe (2 Punkte)

Seien , und positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit die Teilbarkeit impliziert.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und positive natürliche Zahlen. Seien , und , Folgen von positiven natürlichen Zahlen derart, dass die Teilbarkeitsbeziehung

für alle gilt. Es sei vorausgesetzt, dass die Quotientenfolge gegen konvergiert. Zeige, dass ein Teiler von ist.