Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 6

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle primitiven Elemente von $ℤ / (27)$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe für die Einheitengruppe $(ℤ / (16))^{\times}$ explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass ${(ℤ / (n))}^{\times}$ zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich $φ (φ (n))$ ist, wobei $φ$ die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn ${(ℤ / (n))}^{\times}$ nicht zyklisch ist?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und $r \geq 2$ . Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung

{(ℤ / (p^{r}))}^{\times} ⟶ {(ℤ / (p^{r - 1}))}^{\times} .

Aufgabe * (7 (3+2+2) Punkte)

a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und $e \in ℕ$ . Zeige, dass das Potenzieren

{(ℤ / (p))}^{\times} ⟶ {(ℤ / (p))}^{\times}, x ⟼ x^{e},

genau dann eine Bijektion ist, wenn $e$ und $p - 1$ teilerfremd sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und $𝔽_{p} = ℤ / (p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe

𝔽_{p} [i] = 𝔽_{p} \oplus 𝔽_{p} i = {a + b i ∣ a, b \in 𝔽_{p}}

in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche $p$ diese Konstruktion einen Körper liefert.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $a$ , $b$ und $r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit $a^{r} ∣ b^{r}$ die Teilbarkeit $a ∣ b$ impliziert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $a$ und $b$ positive natürliche Zahlen. Es seien $r_{n}, n \in ℕ$ , und $s_{n}, n \in ℕ$ , Folgen von positiven natürlichen Zahlen derart, dass die Teilbarkeitsbeziehung

a^{r_{n}} ∣ b^{s_{n}}

für alle $n$ gilt. Es sei vorausgesetzt, dass die Quotientenfolge $r_{n} / s_{n}$ gegen $1$ konvergiert. Zeige, dass $a$ ein Teiler von $b$ ist.