Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 6

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle primitiven Elemente von ${}{\mathbb {Z} }/(27)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe für die Einheitengruppe ${}({\mathbb {Z} }/(16))^{\times }$ explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl derart, dass ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich ${}\varphi (\varphi (n))$ ist, wobei ${}\varphi$ die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ nicht zyklisch ist?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}r\geq 2$. Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung

$({\mathbb {Z} }/(p^{r}))^{\times }\longrightarrow ({\mathbb {Z} }/(p^{r-1}))^{\times }.$

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren

${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\,x\longmapsto x^{e},$

genau dann eine Bijektion ist, wenn ${}e$ und ${}p-1$ teilerfremd sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}{\mathbb {F} }_{p}=\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe

${\mathbb {F} }_{p}[i]={\mathbb {F} }_{p}\oplus {\mathbb {F} }_{p}i=\{a+bi:a,b\in {\mathbb {F} }_{p}\}$

in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche ${}p$ diese Konstruktion einen Körper liefert.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}a$, ${}b$ und ${}r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit ${}a^{r}{|}b^{r}$ die Teilbarkeit ${}a{|}b$ impliziert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a$ und ${}b$ positive natürliche Zahlen. Es seien ${}r_{n}\,,n\in \mathbb {N}$, und ${}s_{n}\,,n\in \mathbb {N}$, Folgen von positiven natürlichen Zahlen derart, dass die Teilbarkeitsbeziehung

$a^{r_{n}}{|}b^{s_{n}}$

für alle ${}n$ gilt. Es sei vorausgesetzt, dass die Quotientenfolge ${}r_{n}/s_{n}$ gegen ${}1$ konvergiert. Zeige, dass ${}a$ ein Teiler von ${}b$ ist.