Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 11/kontrolle
- Übungsaufgaben
Finde die kleinste Zahl der Form , die keine Primzahl ist, wobei die ersten Primzahlen sind.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in gibt.
Berechne den Wert der Reihe
Welche Beziehung besteht zwischen der vorstehenden Aufgabe und
Satz 11.7?
Zeige, dass es außer kein weiteres Zahlentripel der Form gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.
Zeige, dass es eine gerade Zahl , , mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen derart gibt, dass auch eine Primzahl ist.
Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo den Rest besitzen.
Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl modulo unendlich vieler Primzahlen ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.
Zeige, dass es keine unendlich lange arithmetische Progression gibt, die nur aus Primzahlen besteht.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo den Rest besitzen.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Von wie vielen Zahlen ist „durchschnittlich“ die Zahl der kleinste Primteiler? Erläutere dabei, warum diese Frage durchaus einen Sinn macht. Beschreibe alle Zahlen, deren kleinster Primteiler ist (begründe!).
Beantworte die entsprechenden Fragen für eine beliebige Primzahl. Bis zu welcher Primzahl muss man gehen, damit durchschnittlich mindestens (oder oder ) aller Zahlen einen Primteiler besitzen.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl
unbeschränkt ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne das unendliche Produkt
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