Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 16/latex

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\setcounter{section}{16}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} zur \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} { \Q[ { \mathrm i} ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zur Basis \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {} und zur Basis \mathkor {} {2-5 { \mathrm i}} {und} {4+7 { \mathrm i}} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element
\mathdisp {f= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7}} { }
auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 16.6 unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass $L$ von $z$ erzeugt wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ auf genau eine Weise die Struktur eines $\Z$-\definitionsverweis {Moduls}{}{} trägt. Kommutative Gruppen und $\Z$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Seien $R$ und $A$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{.} Zeige, dass $A$ genau dann eine $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist, wenn $A$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} ist, für den zusätzlich
\mathdisp {r (ab) =(ra)b \text{ für alle } r \in R,\, a,b \in A} { }
gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn ${\mathfrak a}$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R} {K } {} in einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} eines \definitionsverweis {Hauptidealringes}{}{} wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines \definitionsverweis {Hauptidealbereiches}{}{} kein Hauptidealbereich sein muss.

}
{} {}


Ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {Radikal}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Radikalideal}{}} {} {,} wenn folgendes gilt: Falls
\mathl{f^n \in {\mathfrak a}}{} ist für ein
\mathl{n \in \N}{,} so ist bereits
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{.}





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.

}
{} {}


Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Dann nennt man die Menge
\mathdisp {{ \left\{ f \in R \mid \text{es gibt ein } r \text{ mit } f^r \in {\mathfrak a} \right\} }} { }
das \definitionswort {Radikal}{} zu ${\mathfrak a}$. Es wird mit
\mathl{\operatorname{rad} \,({\mathfrak a})}{} bezeichnet.





\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in $\Z$ das \definitionsverweis {Radikal}{}{} zum \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{\Z 27}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $S \subseteq R$ ein \definitionsverweis {Unterring}{}{.} Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Zu einem \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Ideal \zusatzklammer {in $S$} {} {.} }{Zu einem \definitionsverweis {Radikal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Radikal. }{Zu einem \definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Primideal. }{Zu einem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein maximales Ideal. }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei
\mathl{(G,+,0)}{} eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Sei
\mathdisp {E:= \operatorname{End} (G) = \operatorname{Hom} (G,G)} { }
die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $G$ (also die Gruppenendomorphismen auf $G$). Definiere auf $E$ eine Addition und eine Multiplikation, so dass $E$ zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei
\mathl{(M,+,0)}{} eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und sei
\mathl{E= \operatorname{End}_{\mathbb Z} (M)}{} der zugehörige Endomorphismenring. Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass eine $R$-Modulstruktur auf $M$ äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus
\mathl{R\rightarrow \operatorname{End}_{\mathbb Z} (M)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mathl{\varphi: R \rightarrow S}{} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak p})}{} ein Primideal in $R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines \definitionsverweis {maximalen Ideales}{}{} kein maximales Ideal sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{\mathfrak{a} \neq R}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige:
\mathl{\mathfrak{a}}{} ist genau dann ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{,} wenn es zu jedem
\mathbed {g \in R} {}
{g \not\in \mathfrak a} {}
{} {} {} {,} ein
\mathl{f \in \mathfrak a}{} und ein
\mathl{r \in R}{} gibt mit
\mathl{rg+f=1}{.}

}
{} {}


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