Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
zur
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ { \mathrm i} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zur Basis
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
und zur Basis
\mathkor {} {2-5 { \mathrm i}} {und} {4+7 { \mathrm i}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 16.6 unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass $L$ von $z$ erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ auf genau eine Weise die Struktur eines $\Z$-\definitionsverweis {Moduls}{}{} trägt. Kommutative Gruppen und $\Z$-Moduln sind also äquivalente Objekte.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $A$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{.}
Zeige, dass $A$ genau dann eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
ist, wenn $A$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
ist, für den zusätzlich
\mathdisp {r (ab) =(ra)b \text{ für alle } r \in R,\, a,b \in A} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn ${\mathfrak a}$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R} {K } {} in einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} eines \definitionsverweis {Hauptidealringes}{}{} wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines \definitionsverweis {Hauptidealbereiches}{}{} kein Hauptidealbereich sein muss.
}
{} {}
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Radikal}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Radikalideal}{}} {} {,}
wenn folgendes gilt: Falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^n
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist bereits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Dann nennt man die Menge
\mathdisp {{ \left\{ f \in R \mid \text{es gibt ein } r \text{ mit } f^r \in {\mathfrak a} \right\} }} { }
das \definitionswort {Radikal}{} zu ${\mathfrak a}$. Es wird mit
\mathl{\operatorname{rad} \,({\mathfrak a})}{} bezeichnet.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Z$ das
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
zum
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{\Z 27}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $S \subseteq R$ ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{.}
Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Ideal
\zusatzklammer {in $S$} {} {.}
}{Zu einem
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Radikal.
}{Zu einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Primideal.
}{Zu einem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein maximales Ideal.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{(G,+,0)}{} eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Sei
\mathdisp {E:= \operatorname{End} (G) = \operatorname{Hom} (G,G)} { }
die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $G$ (also die Gruppenendomorphismen auf $G$). Definiere auf $E$ eine Addition und eine Multiplikation derart, dass $E$ zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{(M,+,0)}{} eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und sei
\mathl{E= \operatorname{End}_{\mathbb Z} (M)}{} der zugehörige Endomorphismenring. Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass eine $R$-Modulstruktur auf $M$ äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus
\mathl{R\rightarrow \operatorname{End}_{\mathbb Z} (M)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}{} ein Primideal in $R$ ist.
Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines \definitionsverweis {maximalen Ideales}{}{} kein maximales Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{\mathfrak{a} \neq R}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige:
\mathl{\mathfrak{a}}{} ist genau dann ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{,}
wenn es zu jedem
\mathbed {g \in R} {}
{g \not\in \mathfrak a} {}
{} {} {} {,}
ein
\mathl{f \in \mathfrak a}{} und ein
\mathl{r \in R}{} gibt mit
\mathl{rg+f=1}{.}
}
{} {}
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