Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 17

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde eine irreduzible Ganzheitsgleichung (über ) für die Eisensteinzahl .


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und eine -Algebra. Zeige, dass wenn ein Körper ist, die Begriffe algebraisch und ganz für ein Element übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.


Aufgabe *

Seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.


Aufgabe

Sei eine ganze Ringerweiterung und sei . Zeige: Wenn , aufgefasst in , eine Einheit ist, dann ist eine Einheit in .


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung , wo es einen Nichtnullteiler gibt, der ein Nullteiler in wird.


Aufgabe *

Berechne in

das Produkt

( bezeichne die Restklasse von ).


Aufgabe

Sei ein Körper und sei eine endlichdimensionale -Algebra. Zeige direkt (ohne Lemma 17.7), dass ganz über ist.


Aufgabe

Es sei eine Ringerweiterung zwischen endlichen kommutativen Ringen und . Zeige, dass eine ganze Ringerweiterung vorliegt.


Aufgabe

  1. Es sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass ganz-abgeschlossen im Polynomring ist.
  2. Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring , der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich. Sei angenommen, dass die Normalisierung von gleich dem Quotientenkörper ist. Zeige, dass dann selbst schon ein Körper ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei , eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt normal ist.


Aufgabe

Sei ein normaler Integritätsbereich und . Es sei vorausgesetzt, dass keine Quadratwurzel in besitzt. Zeige, dass das Polynom prim in ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper . Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich mit Normalisierung . Zeige, dass durch

ein Ideal in gegeben ist.


Aufgabe

Sei eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring

Zeige die Isomorphie und dass ganz über ist.


In den folgenden Aufgaben wird der Polynomring in zwei Variablen über einem Körper verwendet. Diesen kann man definieren als . Die Elemente in ihm, also die Polynome in zwei Variablen, haben die Gestalt

Wir interessieren uns für Restklassenringe vom Typ . Die Nullstellenmenge von besteht aus der Menge derjenigen Punkte in der Ebene, für die ist (dieses Nullstellengebilde ist eine geometrische Version des Ringes ).

Aufgabe

Sei ein Körper und betrachte den Restklassenring

Dies ist ein Integritätsbereich nach Aufgabe 17.13. Zeige, dass die Normalisierung von gleich dem Polynomring ist. Skizziere die Nullstellenmenge von in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.


Polynomringe kann man entsprechend über jedem Grundring und mit beliebig vielen Variablen definieren.

Aufgabe

Es sei

und

Begründe, dass die Ringerweiterung

ganz ist und finde eine Ganzheitsgleichung für und für (kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und eine ganze Ringerweiterung. Sei . Zeige, dass für das von erzeugte Hauptideal gilt:


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen und die Zahl nicht ein Teiler von ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass ganz über und ganz über ist. Zeige, dass dann auch ganz über ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper und betrachte den Ringhomomorphismus , der durch die Einsetzung

gegeben ist. Finde ein von verschiedenes Polynom derart, dass unter auf abgebildet wird. Skizziere die Nullstellenmenge von in der reellen Ebene.


Aufgabe (4 Punkte)

Definiere unter Anlehnung an die Parametrisierung der pythagoreischen Tripel einen Ringhomomorphismus

Zeige, dass dieser injektiv, aber nicht surjektiv ist.



<< | Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)