Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 16

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Diskriminante zur Körpererweiterung

zur Basis und und zur Basis und .


Aufgabe *

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs . Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

auf und berechne damit die Spur und die Norm von .


Aufgabe

Beweise Lemma 16.6 unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass von erzeugt wird.


Aufgabe

Sei eine kommutative Gruppe. Zeige, dass auf genau eine Weise die Struktur eines -Moduls trägt. Kommutative Gruppen und -Moduln sind also äquivalente Objekte.


Aufgabe

Seien und kommutative Ringe. Zeige, dass genau dann eine -Algebra ist, wenn ein -Modul ist, für den zusätzlich

gilt.


Aufgabe

Sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus in einen Körper ist.


Aufgabe

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.


Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ist für ein , so ist bereits .


Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.


Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Dann nennt man die Menge

das Radikal zu . Es wird mit bezeichnet.


Aufgabe

Bestimme in das Radikal zum Ideal .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein Unterring. Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.

  1. Zu einem Ideal ist auch ein Ideal (in ).
  2. Zu einem Radikal ist auch ein Radikal.
  3. Zu einem Primideal ist auch ein Primideal.
  4. Zu einem maximalen Ideal ist auch ein maximales Ideal.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine kommutative Gruppe. Sei

die Menge der Gruppenhomomorphismen von nach (also die Gruppenendomorphismen auf ). Definiere auf eine Addition und eine Multiplikation, so dass zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine kommutative Gruppe und sei der zugehörige Endomorphismenring. Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine -Modulstruktur auf äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus .


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Primideal in . Zeige, dass das Urbild ein Primideal in ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal in . Zeige: ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem , , ein und ein gibt mit .



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