Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\zusatzklammer {Isomorphietyp des} {} {}
\definitionsverweis {Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} { \Q[X]/ { \left( X^2+ \frac{3}{2}X - \frac{5}{7} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} auf $\Q[\sqrt{D}]$ ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{} und auf $A_D$ ein \definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{} ist. Zeige, dass der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} gleich $\Q$ bzw. gleich $\Z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass die $1$ Teil einer Ganzheitsbasis von $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} für $\sqrt{D}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Spur}{}{} für $\sqrt{D}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} für $\sqrt{D}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $D$ und $E$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien $A_D$ und $A_E$ die zugehörigen
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_D \cap A_E
}
{ =} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme ein Element aus
\mathl{\Z [\sqrt{-11}]}{,} das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{A_D/ \Z[\sqrt{D}]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
mit
\mathl{D=1 \mod 4}{,} und sei $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für
\mathl{\frac{1 + \sqrt{D} }{2}}{} über $\Z$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{D}]
}
{ \subset }{R
}
{ \subset }{A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{} $A_D$ mit negativem $D$ sämtliche \definitionsverweis {Einheiten}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Für welche
\definitionsverweis {quadratfreien Zahlen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} {1 \mod 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{7}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element
\mathl{8+ 3 \sqrt{7}}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde ein quadratfreies $D$ derart, dass die natürliche Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{D}]
}
{ \subseteq} { A_D
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale $\mathfrak q$ und $\mathfrak q'$ in $A_D$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal
\mathl{{\mathfrak p} \subset \Z[\sqrt{D}]}{} liegen. Was ist
\mathl{{\mathfrak p} \cap \Z}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der \definitionsverweis {Faserring}{}{} über $\Z/(p)$ nicht \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} zu jeder Primzahl $p$ einen $\Z/(p)$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{} des Faserringes über $p$ in sich selbst induziert. Beschreibe diesen in den drei möglichen Fällen im Sinne von Lemma 19.9 bzw. Satz 20.13.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $D \neq 0,1$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und betrachte die quadratische Erweiterung
\mathl{\Z \subset \Z[\sqrt{D}]}{.} Es sei $p$ ein Primfaktor von $D$ und es sei vorausgesetzt, dass weder $p$ noch $-p$ ein Quadratrest modulo $D/p$ ist. Dann ist $p$ irreduzibel in
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{,} aber nicht prim.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{7}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $R$, die über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{29
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen und zeige, dass es sich um
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{15}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $R$, die über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{17
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen
\zusatzklammer {man gebe Idealerzeuger an} {} {.}
Handelt es sich um Hauptideale?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass $2$ im Ring
\mathl{{\mathbb Z}[\sqrt{5}]}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{} ist. Wie sieht es in $A_5$ aus?
}
{} {}
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