Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 19

Übungsaufgaben

Aufgabe

Konstruiere einen Körper ${}{\mathbb {F} }_{9}$ mit ${}9$ Elementen.

Aufgabe

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{9}$ für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}F$ ein Körper mit ${}p^{2}$ Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$ und ${}F$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Sei ${}F\colon K\rightarrow K$ der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ invariant unter ${}F$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Sei

$\varphi =F^{e}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{p^{e}}$

die ${}e$-te Iteration des Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass es maximal ${}p^{e}$ Elemente gibt, die unter ${}\varphi$ invariant sind, und dass diese Elemente einen Unterkörper von ${}K$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}F\in K[X]$ und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${}F$ ist, wenn ${}F'(a)=0$ ist, wobei ${}F'$ die formale Ableitung von ${}F$ bezeichnet.

Aufgabe

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Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln

und erstelle für einen der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln.

Aufgabe

Konstruiere endliche Körper mit ${}4,8,9,16,25,27,32,49,64,81,121,125$ und ${}132$ Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.

Aufgabe *

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.

Aufgabe

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}F=X^{3}+X+2$ in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$.

b) Zeige, dass durch

$K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$

ein Körper mit ${}25$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von ${}F=X^{3}+X+2$ über ${}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$.

Aufgabe *

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{49}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{49}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{7}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{49}$.

Aufgabe *

Es sei ${}\mathbb {F} _{q}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich ${}2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ${}\mathbb {F} _{q}^{\times }$ ein Quadrat in ${}\mathbb {F} _{q}$ ist.

Aufgabe

Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige endliche Körper.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${}p\neq 2$.

a) Zeige, dass es in ${}K$ Elemente gibt, die keine Quadratwurzel besitzen.

b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale Körpererweiterung

${}K\subseteq L\,$

vom Grad zwei gibt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}q=p^{n}$, ${}n\geq 2$. Zeige, dass ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ kein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$ sein kann.

Aufgabe

Betrachte die kommutativen Ringe ${}\mathbb {Z} /(13)$, ${}\mathbb {Z} /(169)$ und ${}{\mathbb {F} }_{169}$. Bestimme alle Ringhomomorphismen zwischen diesen drei Ringen.Fakt

Aufgabe *

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit ${}6$ Elementen.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und es sei ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal. Zeige, dass die Norm von ${}{\mathfrak {p}}$ eine echte Primzahlpotenz ist.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl, ${}q=p^{e}$ mit ${}e\geq 1$ und sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der Körper mit ${}q$ Elementen und ${}R={\mathbb {F} }_{q}[X]$ der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ endlich ist.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Gleichung

${}x^{2}+y^{2}+xy=1\,$

für die Körper ${}K=\mathbb {F} _{2}$, ${}\mathbb {F} _{4}$ und ${}\mathbb {F} _{8}$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

   $\varphi _{d}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{d},$

   mit ${}0\leq d<q$ linear unabhängig sind.

2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

   $\psi _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto b^{x},$

   mit ${}0\leq b<q$ linear unabhängig sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}R$ mit Diskriminante

$\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}).$

Es sei ${}h\in R$. Zeige, dass ${}hf_{1},\ldots ,hf_{n}$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis des Hauptideals ${}(h)$ bildet und dass gilt:

$\min\{{|}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n}){|}:\,(b_{1},\ldots ,b_{n})\,\mathbb {Z} {\mbox{-Basis von }}(h)\}=N(h)^{2}{|}\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}){|}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e,d\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige: ${}{\mathbb {F} }_{p^{d}}$ ist genau dann ein Unterkörper von ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$, wenn ${}e$ ein Vielfaches von ${}d$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}q$ eine echte Primzahlpotenz und ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${}{\mathbb {F} }_{q^{2}}$ jedes Element aus ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein Quadrat ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ eine Ringerweiterung vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von ${}L$, ähnlich wie in Lemma 19.9.