Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 19

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Konstruiere einen Körper mit Elementen.


Aufgabe

Bestimme in für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und ein Körper mit Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen und gibt es? Man betrachte beide Richtungen.


Aufgabe

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus invariant unter sind.


Aufgabe

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei

die -te Iteration des Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass es maximal Elemente gibt, die unter invariant sind, und dass diese Elemente einen Unterkörper von bilden.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.


Aufgabe

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Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln

und erstelle für einen der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln.


Aufgabe

Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.


Aufgabe *

a) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

b) Berechne in das Produkt .

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .


Aufgabe

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms in .

b) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von über .


Aufgabe *

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Aufgabe *

Sei ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich . Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ein Quadrat in ist.


Aufgabe

Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige endliche Körper.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik .

a) Zeige, dass es in Elemente gibt, die keine Quadratwurzel besitzen.

b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale Körpererweiterung

vom Grad zwei gibt.


Aufgabe

Sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.


Aufgabe

Betrachte die kommutativen Ringe , und . Bestimme alle Ringhomomorphismen zwischen diesen drei Ringen.Fakt


Aufgabe *

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit Elementen.


Aufgabe *

Es sei ein Zahlbereich und es sei ein Primideal. Zeige, dass die Norm von eine echte Primzahlpotenz ist.


Aufgabe *

Sei eine Primzahl, mit und sei der Körper mit Elementen und der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring zu einem Ideal endlich ist.


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Gleichung

für die Körper , und .


Aufgabe *

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

    mit linear unabhängig sind.

  2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

    mit linear unabhängig sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und sei eine -Basis von mit Diskriminante

Es sei . Zeige, dass eine -Basis des Hauptideals bildet und dass gilt:


Aufgabe (3 Punkte)

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Primzahl und . Zeige: ist ein Unterkörper von genau dann, wenn ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine echte Primzahlpotenz und der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in jedes Element aus ein Quadrat ist.


Aufgabe (7 Punkte)

Sei ein Körper und eine Ringerweiterung vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von , ähnlich wie in Lemma 19.9.



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