Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Durchschnitt von \definitionsverweis {konvexen}{}{} Mengen wieder konvex ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Charakterisiere die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} eines \definitionsverweis {Gitters}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.} Zeige, dass es eine $\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \R^n} { \R^n } {} gibt, die einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2 } {} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{\Gamma_1, \Gamma_2 \subseteq \R^n}{} rationale \definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.} Zeige, dass es eine $\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { \Q^n} { \Q^n } {} gibt, die einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2 } {} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} rationale \definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.} Zeige, dass es ein rationales Gitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1, \Gamma_2 }
{ \subseteq }{ \Gamma }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, die die \definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{} trage. Es sei $Y$ \definitionsverweis {kompakt}{}{.} Zeige, dass $Y$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $X$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_1 , \ldots , Y_n }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ \bigcup_{i = 1}^n Y_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kompakt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X,Y }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.} Zeige, dass es Punkte \mathkor {} {x \in X} {und} {y \in Y} {} mit der Eigenschaft gibt, dass für beliebige Punkte \mathkor {} {P \in X} {und} {Q \in Y} {} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,y) }
{ \leq} { d(P,Q) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {Tipp: Betrachte die Produktmenge
\mathl{S \times T \subseteq \R^{n} \times \R^n \cong \R^{2n}}{} und darauf die Abbildung
\mathl{(x,y) \mapsto \sum_{i =1}^n (x_i-y_i)^2}{.} Argumentiere dann mit Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y,Z }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{,} die zueinander \definitionsverweis {disjunkt}{}{} seien. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass für beliebige Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abstandsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d(P,Q) }
{ \geq }{d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ genau dann die \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ besitzt, wenn die additive Gruppe
\mathl{(K,+,0)}{} \definitionsverweis {torsionsfrei}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Alle Springmäuse leben in $\Z^2$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung
\mathl{\pm (3,4)}{} und den Sprung
\mathl{\pm (5,2)}{.} Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
\mathdisp {(14,11),\, (13,15),\, (17, 12),\,(15,19 ) ,\, (16,16) \mbox{ und } (12,20)} { . }
Welche Springmäuse können sich begegnen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $U$ eine Teilmenge des $\R^n$. Zeige, dass ein Punkt
\mathl{Q \in \R^n}{} genau dann zur konvexen Hülle von $U$ gehört, wenn es endlich viele Punkte
\mathl{P_i \in U}{,}
\mathl{i \in I}{,} und reelle Zahlen $r_i$,
\mathl{i \in I}{,} mit
\mathl{r_i \in [0,1]}{,}
\mathl{\sum_{i \in I}r_i =1}{} und mit
\mathdisp {Q= \sum_{i \in I} r_i P_i} { }
gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Skizziere zum Gitter $\Z^2$ in $\R^2$ drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Gitterpunksatzes von Minkowski erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weiteren Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen \definitionsverweis {konvex}{}{,} \definitionsverweis {kompakt}{}{} und \definitionsverweis {zentralsymmetrisch}{}{} erfüllen.

}
{} {}