Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 7

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine ungerade Primzahl. Zeige, dass eine primitive Einheit von nie ein quadratischer Rest ist. Bestimme für die Primzahlen , ob darin jeder nichtquadratische Rest primitiv ist.


Aufgabe

Finde die kleinste Primzahl derart, dass es in ein Element gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich ist.


Aufgabe *

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ?

Wie viele Elemente besitzt , die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Sei ein primitives Element von . Liste explizit alle Elemente auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.


Aufgabe

Welche Ziffern treten im Dezimalsystem als Endziffern von Quadratzahlen auf?


Aufgabe

Bestimme die Quadrate in .


Aufgabe

  1. Finde die kleinste Zahl mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo .
  2. Finde die kleinste Primzahl mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo .
  3. Finde die größte Primzahl mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo die Quadratzahlen sind.
  4. Untersuche

    in Hinblick auf die Eigenschaft, ob es neben den Quadraten noch weitere Quadratreste modulo gibt.

  5. Finde die größte (?) Zahl mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo die Quadratzahlen sind.


Aufgabe

Bestätige Satz 6.6 für .


Aufgabe

Es sei eine ungerade Zahl. Zeige, dass es in maximal Quadratreste gibt. Wie sieht dies bei gerade aus?


Aufgabe

Berechne zu und die Vielfachen für und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen und . Berechne damit die Vorzeichen und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.


Aufgabe

Berechne zu und die Vielfachen für und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen und . Berechne damit die Vorzeichen und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper mit

Zeige, dass die Anzahl von ungerade ist, und dass es in genau Quadrate gibt.


Aufgabe

Wie viele Lösungen hat die Gleichung

in für ein gegebenes ?


Aufgabe

Charakterisiere diejenigen positiven ungeraden Zahlen mit der Eigenschaft, dass bei dem in Aufgabe 1.25 beschriebenen Algorithmus genau zwei ungerade Zahlen auftreten (nämlich und ).


Die Begriffe teilen, irreduzibel und prim machen in jedem Monoid Sinn (nicht nur im multiplikativen Monoid eines Ringes). In den folgenden Aufgaben werden Teilbarkeitseigenschaften in einigen kommutativen Monoiden besprochen.

Aufgabe

Betrachte die natürlichen Zahlen als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element . Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?


Aufgabe

Betrachte die Menge derjenigen positiven Zahlen, die modulo den Rest haben. Zeige, dass mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von . Zeige, dass in jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Eulersche Kriterium für beliebige Potenzreste.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Primzahl und sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass ein Element genau dann eine -te Wurzel besitzt, wenn ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne zu und die Vielfachen für und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen und . Berechne damit die Vorzeichen und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösungen der Kongruenz


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass im Restklassenring die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente genau dann assoziiert sind, wenn ist.

Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von und aufbaut.


Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen und eines kommutativen Ringes derart, dass ist, dass aber und nicht assoziiert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Menge der positiven geraden Zahlen zusammen mit . Zeige, dass ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von . Zeige, dass in jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in gilt.



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