Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Definitionsliste

Definition:Monoid

Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung

\circ \colon M\times M\longrightarrow M

und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt
${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

für alle ${}x,y,z\in M$ .
${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt
${}x\circ e=x=e\circ x\,$

für alle ${}x\in M$ .

Definition:Gruppe

Ein Monoid ${}(G,e,\circ )$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in G$ ein ${}y\in G$ mit ${}x\circ y=e=y\circ x$ gibt.

Definition:Kommutative Gruppe

Eine Gruppe ${}(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also ${}x\circ y=y\circ x$ für alle ${}x,y\in G$ gilt.

Definition:Zyklische Gruppe

Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Definition:Ring

Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle ${}a,b,c\in R$ .

Definition:Kommutativer Ring

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$ . Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$ .

Definition:Einheit

Ein Element ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.

Definition:Assoziiert

Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${}u\in R$ derart gibt, dass ${}a=ub$ ist.

Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition:Primelement

Eine Nichteinheit ${}p\neq 0$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$ , so teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Definition:Körper

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

${}0\in {\mathfrak {a}}$ .
Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$ .
Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$ .

Definition:Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$ , ${}j\in J$ , in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},

wobei ${}J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und ${}r_{j}\in R$ ist.

Definition:Hauptideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

{}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,

heißt Hauptideal.

Definition:Hauptidealbereich

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ . Dann heißt ein Element ${}t\in R$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ , wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt ( ${}i=1,\ldots ,k$ ).

Definition:Größter gemeinsamer Teiler

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ . Ein Element ${}g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ , wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Definition:Teilerfremd

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente ${}a,b\in R$ teilerfremd sind, wenn jedes Element ${}c\in R$ , das sowohl ${}a$ als auch ${}b$ teilt, eine Einheit ist.

Definition:Euklidischer Bereich

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich ${}R$ , für den eine Abbildung ${}\delta \colon R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$ gibt es ${}q,r\in R$ mit

a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).

Definition:Euklidische Restfolge

Es seien Elemente ${}a,b$ (mit $b\neq 0$ ) eines euklidischen Bereichs ${}R$ mit euklidischer Funktion ${}\delta$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

{}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,

rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

Jedes irreduzible Element in ${}R$ ist prim.
Jedes Element ${}a\in R$ , ${}a\neq 0$ , ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.

Definition:Eulersche ${}\varphi$ -Funktion

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$ . Man nennt ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

Definition:Endlicher Körper

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Definition:Produktring

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

R_{1}\times \cdots \times R_{n},

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ .

Definition:Exponent einer Gruppe

Der Exponent ${}\exp {\left(G\right)}$ einer endlichen Gruppe ${}G$ ist die kleinste positive Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass ${}x^{n}=1$ für alle ${}x\in G$ ist.

Definition:Primitive Einheit

Eine Einheit ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

Definition:Quadratischer Rest

Eine ganze Zahl ${}k$ heißt quadratischer Rest modulo ${}n$ , wenn es eine Zahl ${}x$ mit

{}x^{2}=k\mod n\,

gibt. Im anderen Fall heißt ${}k$ ein nichtquadratischer Rest modulo ${}n$ .

Definition:Legendre-Symbol

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ und eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben ${}\left({\frac {k}{p}}\right)$ (sprich „ ${}k$ nach ${}p$ “), durch

\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,

Definition:Jacobi-Symbol

Für eine ungerade Zahl ${}n$ und eine ganze Zahl ${}k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben ${}\left({\frac {k}{n}}\right)$ ( ${}k$ nach ${}n$ ), wie folgt. Es sei ${}n=p_{1}\cdots p_{r}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$ . Dann setzt man

{}\left({\frac {k}{n}}\right):=\left({\frac {k}{p_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {k}{p_{r}}}\right)\,.

Definition:Pythagoreisches Tripel

Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ der diophantischen Gleichung

{}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.

Es heißt primitiv, wenn ${}x,y,z$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Definition:Die Riemannsche Zetafunktion

Die Riemannsche ${}\zeta$ -Funktion ist für ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch

{}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,

definiert.

Definition:Primzahlfunktion

Die für ${}x\in \mathbb {R}$ definierte Funktion

x\longmapsto \pi (x):={\#\left({\left\{p\leq x\mid p{\text{ Primzahl}}\right\}}\right)}

heißt Primzahlfunktion.

Definition:Erste Tschebyschow-Funktion

Die erste Tschebyschow-Funktion ${}\vartheta (x)$ ist durch

{}\vartheta (x)=\sum _{p\leq x,p{\text{ prim}}}\ln(p)\,

gegeben.

Definition:Mersennesche Primzahl

Eine Primzahl der Form ${}2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.

Definition:Teilersumme

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet man die Summe aller natürlichen Teiler von ${}n$ als ${}\sigma (n)$ , also

{}\sigma (n)=\sum _{t{|}n}t\,.

Definition:Vollkommene Zahl

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von ${}n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.

Definition:Defiziente Zahl

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als ${}2n$ ist.

Definition:Abundante Zahl

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt abundant, wenn die Summe der Teiler größer als ${}2n$ ist.

Definition:Sonderbare Zahl

Eine natürliche abundante Zahl heißt sonderbar, wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.

Definition:Befreundete Zahlen

Zwei verschiedene natürliche Zahlen ${}m$ und ${}n$ heißen befreundet, wenn ${}m$ gleich der Summe der echten Teiler von ${}n$ ist und umgekehrt.

Definition:Multiplikative zahlentheoretische Funktion

Eine zahlentheoretische Funktion

f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }

heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen ${}m,n$ stets

{}f(mn)=f(m)f(n)\,

gilt.

Definition:Faltung

Zu zahlentheoretischen Funktionen ${}f,g\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt die durch

{}(f*g)(n):=\sum _{d{\text{ teilt }}n}f(d)g{\left({\frac {n}{d}}\right)}\,

definierte Funktion die Faltung von ${}f$ und ${}g$ .

Definition:Möbius-Funktion

Die zahlentheoretische Funktion ${}\mu \colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow {\mathbb {C} }$ , die durch

{}\mu (n):={\begin{cases}0,\,{\text{falls in der Primfaktorzerlegung von }}n{\text{ manche Primfaktoren mehrfach auftreten}},\\(-1)^{k},\,{\text{ falls }}n=p_{1}\cdots p_{k}{\text{ mit verschiedenen Primfaktoren}}\,.\end{cases}}\,

gegeben ist, heißt Möbius-Funktion.

Definition:Fermatsche Primzahl

Eine Primzahl der Form ${}2^{s}+1$ , wobei ${}s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Definition:Fermat-Zahl

Eine Zahl der Form ${}2^{2^{r}}+1$ , wobei ${}r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.

Definition:Sophie-Germain-Primzahl

Eine Primzahl ${}p$ mit der Eigenschaft, dass auch ${}2p+1$ eine Primzahl ist, heißt Sophie-Germain-Primzahl.

Definition:Quasiprim

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt quasiprim zur Basis ${}a$ , wenn ${}a^{n-1}=1$ modulo ${}n$ gilt.

Definition:Carmichael-Zahl

Eine natürliche Zahl ${}n$ , die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu ${}n$ teilerfremde ganze Zahl ${}a$

{}a^{n-1}=1\mod n\,

gilt, heißt Carmichael-Zahl.

Definition:Quotientenkörper

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

{}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Definition:Algebra

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$ -Algebra.

Definition:Algebraisches Element

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine kommutative ${}K$ - Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$ , wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.

Definition:Minimalpolynom

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$ - Algebra. Es sei ${}f\in A$ ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$ .

Definition:Algebraische Zahlen

Eine komplexe Zahl ${}z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Definition:Körpererweiterung

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$ . Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$ - Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Definition:Norm eines algebraischen Elementes

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Determinante der ${}K$ - linearen Abbildung

\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,

die Norm von ${}f$ . Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Definition:Spur eines algebraischen Elementes

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Spur der ${}K$ - linearen Abbildung

\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,

die Spur von ${}f$ . Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Definition:Separable Körpererweiterung

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element ${}x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

Definition:Diskriminate einer Basis

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in ${}L$ . Dann wird die Diskriminante von ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch

{}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,

definiert.

Definition:Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M=(M,+,0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$ -Modul, wenn eine Operation

R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

${}r(su)=(rs)u$ ,
${}r(u+v)=(ru)+(rv)$ ,
${}(r+s)u=(ru)+(su)$ ,
${}1u=u$ .

Definition:Untermodul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$ - Modul. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt ${}R$ -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes ${}u\in U$ und ${}r\in R$ auch ${}ru\in U$ ist.

Definition:Erzeugendensystem (Modul)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$ - Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$ , ${}i\in I$ , heißt Erzeugendensystem für ${}M$ , wenn es für jedes Element ${}v\in M$ eine Darstellung

{}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,

gibt, wobei ${}J\subseteq I$ endlich ist und ${}r_{i}\in R$ .

Definition:Endlicher Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$ - Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Definition:Primideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn ${}{\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für ${}r,s\in R$ mit ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: ${}r\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}s\in {\mathfrak {p}}$ .

Definition:Maximales Ideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.

Definition:Ganzheitsgleichung

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ heißt eine Gleichung der Form

{}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,

wobei die Koeffizienten $r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1$ , zu ${}R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für ${}x$ .

Definition:Ganzes Element

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Ein Element ${}x\in S$ heißt ganz (über ${}R$ ), wenn ${}x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${}R$ erfüllt.

Definition:Ganzer Abschluss

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente ${}x\in S$ , die ganz über ${}R$ sind, den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}S$ .

Definition:Ganze Ringerweiterung

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt ${}S$ ganz über ${}R$ , wenn jedes Element ${}x\in S$ ganz über ${}R$ ist.

Definition:Ganz-abgeschlossen

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Man nennt ${}R$ ganz-abgeschlossen in ${}S$ , wenn der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ gleich ${}R$ ist.

Definition:Normal

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Definition:Normalisierung

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$ .

Definition:Ganzer Zahlbereich

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in ${}L$ den Ring der ganzen Zahlen in ${}L$ . Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

Definition:Noetherscher Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Definition:Dedekindbereich

Einen Integritätsbereich ${}R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Primideal darin maximal ist.

Definition:Diskriminante eines Zahlbereichs

Es sei ${}R$ der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ . Dann nennt man die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von ${}R$ die Diskriminante von ${}R$ (und die Diskriminante von ${}L$ ).

Definition:Endlicher Körper

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$ . Der aufgrund von Satz 19.7 bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen wird mit

{\mathbb {F} }_{q}

bezeichnet.

Definition:Quadratischer Zahlbereich

Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}2$ .

Definition:Quadratfreie Zahl

Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.

Definition:Reell- und imaginär-quadratische Zahlbereiche

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt ${}A_{D}$ reell-quadratisch, wenn ${}D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn ${}D$ negativ ist.

Definition:Konjugation

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ die zugehörige quadratische Körpererweiterung und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ , auf ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und auf ${}A_{D}$ )

a+b{\sqrt {D}}\longmapsto a-b{\sqrt {D}}

als Konjugation bezeichnet.

Definition:Norm eines Ideals

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}A_{D}$ . Dann nennt man die (endliche) Anzahl des Restklassenringes ${}A_{D}/{\mathfrak {a}}$ die Norm von ${}{\mathfrak {a}}$ . Sie wird mit

N({\mathfrak {a}})

bezeichnet.

Definition:Multiplikatives System

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

${}1\in S$ ,
Wenn ${}f,g\in S$ , dann ist auch ${}fg\in S$ ,

gelten.

Definition:Nenneraufnahme

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System, ${}0\notin S$ . Dann nennt man den Unterring

{}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,

die Nenneraufnahme zu ${}S$ .

Definition:Lokalisierung

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$ . Man schreibt dafür ${}R_{\mathfrak {p}}$ . Es ist also

{}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\subseteq Q(R)\,.

Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.

Definition:Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$ , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft ${}f=up^{n}$ , wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$ . Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,(f)$ bezeichnet.

Definition:Hauptdivisor zu Ringelement

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}f\in R$ , ${}f\neq 0$ . Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ zuordnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet und als formale Summe

{}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,

geschrieben.

Definition:Ordnung an Primstelle

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich, ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ ein Primideal in ${}R$ und ${}f\in R$ , ${}f\neq 0$ . Dann heißt die Ordnung ${}\operatorname {ord} \,(f)$ im diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung von ${}f$ am Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ (oder an der Primstelle ${}{\mathfrak {p}}$ oder in ${}R_{\mathfrak {p}}$ ). Sie wird mit ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ bezeichnet.

Definition:Effektiver Divisor

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe

\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},

die sich über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ natürliche Zahlen sind mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$ .

Definition:Effektiver Divisor zu einem Ideal

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$ . Dann nennt man den Divisor

{}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,

mit

{}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}}):=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\right)\,

den Divisor zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ .

Definition:Ideal zu einem effektiven Divisor

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und

{}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,

ein effektiver Divisor (wobei ${}{\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale ${}\neq 0$ läuft). Dann nennt man

{\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}

das Ideal zum Divisor ${}D$ . Es wird mit ${}\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.

Definition:Divisor

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},

die sich über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$ sind.

Definition:Hauptdivisor

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}q\in Q(R)$ , ${}q\neq 0$ . Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)$ zuordnet, der durch ${}q$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ bezeichnet und als formale Summe

{}\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)\cdot {\mathfrak {p}}\,

geschrieben.

Definition:Gebrochenes Ideal

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ . Dann nennt man einen endlich erzeugten ${}R$ - Untermodul ${}{\mathfrak {f}}$ des ${}R$ - Moduls ${}Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.

Definition:Gebrochenes Hauptideal

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ . Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form ${}{\mathfrak {f}}=Rq$ mit ${}q\in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.

Definition:Produkt von gebrochenen Idealen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ . Dann definiert man für gebrochene Ideale ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ das Produkt ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}$ als den von allen Produkten erzeugten ${}R$ -Untermodul von ${}Q(R)$ , also

{}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}:=R\langle gf:\,f\in {\mathfrak {f}},\,g\in {\mathfrak {g}}\rangle \,,

wobei die Produkte in ${}Q(R)$ zu nehmen sind.

Definition:Gebrochenes Ideal zu einem Divisor

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und

{}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,

ein Divisor (wobei ${}{\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale ${}\neq 0$ läuft). Dann nennt man

{\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}

das gebrochene Ideal zum Divisor ${}D$ . Es wird mit ${}\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.

Definition:Divisor zum gebrochenen Ideal

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$ ein von ${}0$ verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor

{}\operatorname {div} ({\mathfrak {f}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,

mit

{}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {f}},\,f\neq 0\right)\,

den Divisor zum gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ .

Definition:Divisorenklassengruppe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Es sei ${}\operatorname {Div} {\left(R\right)}$ die Gruppe der Divisoren und ${}H\subseteq \operatorname {Div} {\left(R\right)}$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe

{}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=\operatorname {Div} {\left(R\right)}/H\,

die Divisorenklassengruppe von ${}R$ .

Definition:Normeuklidischer Bereich

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt ${}A_{D}$ normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf ${}A_{D}$ eine euklidische Funktion ist.

Definition:Gitter

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$ . Dann heißt die Untergruppe ${}\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$ .

Definition:Konvexe Teilmenge

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],

ebenfalls zu ${}T$ gehört.

Definition:Konvexe Hülle

Zu einer Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge ${}T$ , die ${}U$ umfasst, die konvexe Hülle von ${}U$ .

Definition:Grundmasche

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren ${}\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit ${}\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Definition:Zentralsymmetrisch

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt ${}P\in T$ auch der Punkt ${}-P$ zu ${}T$ gehört.

Definition:Kompakt (Überdeckungskompakt)

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}I

eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

{}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,

ist.

Definition:Klassenzahl

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von ${}A_{D}$ die Klassenzahl von ${}A_{D}$ .