Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Ganzheit}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ring\-erweiterung. Für ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \cdots + r_1x +r_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Koeffizienten \mathind { r_{i} } { i=0 , \ldots , n-1 }{,} zu $R$ gehören, eine \definitionswort {Ganzheitsgleichung}{} für $x$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ring\-erweiterung. Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {ganz}{}
\zusatzklammer {über $R$} {} {,}
wenn $x$ eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
}
Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper und $S$ eine $K$-Algebra ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$ genau dann, wenn es ganz über $K$ ist. Dies stimmt aber im Allgemeinen nicht, siehe
Aufgabe 17.2.
Die einfachsten Ganzheitsgleichungen haben die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^n -r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n
}
{ = }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn also ein Element einer Ringerweiterung eine Wurzel eines Elementes aus $R$ ist, so ist diese Wurzel ganz über dem Grundring. Trivialerweise sind die Elemente aus $R$ ganz über $R$.
\inputbeispiel{}
{
In der Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{ \Z[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ${ \mathrm i}$
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $\Z$, wie die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathrm i}^2
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zeigt. Auch für ein beliebiges Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{a+b{ \mathrm i}
}
{ \in }{\Z[ { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man direkt eine Ganzheitsgleichung angeben, nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a+b { \mathrm i} \right) }^2 -2a { \left( a+b{ \mathrm i} \right) } +a^2 +b^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { X^n +r_{n-1}X^{n-1} + \cdots + r_2X^2 + r_1X+r_0
}
{ \in} { R[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{}
über $R$. Dann ist in der
\definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq} { R[X]/(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Restklasse $x$ von $X$ im Restklassenring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz über $R$, da ja $P$ unmittelbar die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n +r_{n-1} x^{n-1} + \cdots + r_2x^2 + r_1x+r_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
liefert.
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ring\-erweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$ sind, den \definitionswort {ganzen Abschluss}{} von $R$ in $S$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ring\-erweiterung. Dann heißt $S$ \definitionswort {ganz}{} über $R$, wenn jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$ ist.
}
$S$ ist genau dann ganz über $R$, wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $S$ ist.
Wir wollen zeigen, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Der vermutlich erste Gedanke, die jeweiligen Ganzheitsgleichungen miteinander \anfuehrung{geschickt}{} zu kombinieren, führt nicht zum Ziel. Stattdessen braucht man das folgende Kriterium für die Ganzheit.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ringerweiterung.}
\faktuebergang {Für ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$x$ ist
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$.
}{Es gibt eine $R$-Unteralgebra $T$ von $S$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die ein endlicher $R$-Modul ist.
}{Es gibt einen endlichen $R$-Untermodul $M$ von $S$, der einen
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
aus $S$ enthält, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xM
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra
\mathl{R[x]}{} von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \cdots + r_1x +r_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^n
}
{ =} { - r_{n-1}x^{n-1} - r_{n-2}x^{n-2} - \cdots - r_1x -r_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man kann also $x^n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} ersetzen. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[x]
}
{ =} { R + Rx + Rx^2 + \cdots + Rx^{n-2} + Rx^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Potenzen
\mathl{x^0=1,x^1,x^2 , \ldots , x^{n-1}}{} bilden ein endliches Erzeugendensystem von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ R[x]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
(2) $\Rightarrow$ (3). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xT
}
{ \subseteq }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.
(3) $\Rightarrow$ (1). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xM
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere
\mathl{xy_i}{} für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der \mathind { y_j } { j=1 , \ldots , n }{.} Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x y_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n r_{ij} y_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_{ij}
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
oder, als Matrix geschrieben,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} r_{1,1} & r_{1,2} & \ldots & r_{1,n} \\ r_{2,1} & r_{2,2} & \ldots & r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n,1} & r_{n,2} & \ldots & r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { \begin{pmatrix} x-r_{1,1} & - r_{1,2} & \ldots & - r_{1,n} \\ - r_{2,1} & x -r_{2,2} & \ldots & - r_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -r_{n,1} & - r_{n,2} & \ldots & x- r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ \vdots\\y_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nennen wir diese Matrix $A$
\zusatzklammer {die Einträge sind aus $S$} {} {,}
und sei
\mathl{A^{ \operatorname{adj} }}{} die
\definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{.}
Dann gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A^{ \operatorname{adj} } A y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {$y$ bezeichne den Vektor \mathlk{(y_1 , \ldots , y_n)}{}} {} {}
und
nach der Cramerschen Regel
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A^{ \operatorname{adj} } A
}
{ = }{ (\det A )E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ((\det A ) E_n) y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\det A ) y_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $j$ und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\det A ) z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det A
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ring\-erweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $S$ eine $R$-Unteralgebra von $S$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Ganzheitsgleichungen \mathind { X-r } { r \in R }{,} zeigen, dass jedes Element aus $R$ ganz über $R$ ist. Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz über $R$. Nach
der Charakterisierung der Ganzheit
gibt es endliche $R$-Unteralgebren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T_1,T_2
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ \in }{T_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2
}
{ \in }{T_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} ein $R$-Erzeugendensystem von $T_1$ und
\mathl{z_1 , \ldots , z_m}{} ein $R$-Erzeugendensystem von $T_2$. Wir können annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_1
}
{ = }{z_1
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Betrachte den endlich erzeugten $R$-Modul
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} {T_1 \cdot T_2
}
{ =} {\langle y_iz_j, \, i= 1 , \ldots , n, \, j = 1 , \ldots , m \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der offensichtlich
\mathl{x_1+x_2}{} und
\mathl{x_1x_2}{}
\zusatzklammer {und $1$} {} {}
enthält. Dieser $R$-Modul $T$ ist auch wieder eine $R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum r_{ij} y_iz_j \right) } { \left( \sum s_{kl} y_kz_l \right) }
}
{ =} { \sum r_{ij}s_{kl} y_iy_k z_jz_l
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und für die Produkte gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_iy_k
}
{ \in }{ T_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_jz_l
}
{ \in }{ T_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass diese Linearkombination zu $T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von $S$, der $R$ enthält. Also liegt eine $R$-Unteralgebra vor.
\zwischenueberschrift{Normale Integritätsbereiche}
\inputdefinition
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{.}
Man nennt $R$ \definitionswort {ganz-abgeschlossen}{} in $S$, wenn der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $S$ gleich $R$ ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} heißt \definitionswort {normal}{,} wenn er \definitionsverweis {ganz-abgeschlossen}{}{} in seinem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mathl{Q(R)}{} sein
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{.}
Dann nennt man den
\definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{}
von $R$ in
\mathl{Q(R)}{} die \definitionswort {Normalisierung}{} von $R$.
}
Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$
\definitionsverweis {normal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $R$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das die
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q^n+ r_{n-1}q^{n-1} + r_{n-2}q^{n-2} + \cdots + r_1q +r_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Wir schreiben
\mathbed {q= a/b} {mit}
{a,b \in R} {}
{b \neq 0} {} {} {,}
wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also
\mathkor {} {a} {und} {b \in R} {}
keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $R$ ist, da dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ a b^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu $R$ gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^n$ und erhalten in $R$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^n+ { \left( r_{n-1}b \right) } a^{n-1} + { \left( r_{n-2}b^2 \right) } a^{n-2} + \cdots + { \left( r_1b^{n-1} \right) } a + { \left( r_0 b^n \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden
\mathbed {{ \left( r_{n-i}b^{i} \right) } a^{n-i}} {für}
{i \geq 1} {}
{} {} {} {}
und daher auch den ersten, also $a^n$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Normal/Wurzeln aus Elementen im Quotientenkörper/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^k
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, so ist bereits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Die Voraussetzung bedeutet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz über $R$ ist, da es die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^k-a
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wegen der Normalität.
Die einfachsten Beispiele für irrationale reelle Zahlen sind
\mathl{\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}}{} u.s.w. Diese Beobachtung wird durch die folgende Aussage wesentlich verallgemeinert.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha_i$ ein Vielfaches von $k$ sind. Dann ist die reelle Zahl
\mathdisp {n^{\frac{1}{k} }} { }
irrational.
}
{
Die Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann nach Voraussetzung keine $k$-te Wurzel in $\Z$ besitzen, da in einer $k$-ten Potenz alle Exponenten zu Primzahlen Vielfache von $k$ sind. Wegen der Faktorialität von $\Z$ und der daraus nach
Satz 17.12
resultierenden
\definitionsverweis {Normalität}{}{}
kann es auch kein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{Q(\Z)
}
{ = }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^k
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Daher ist die reelle Zahl $n^{\frac{1}{k} }$ irrational.
\zwischenueberschrift{Der ganze Abschluss in Erweiterungskörpern}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$ sei mit $S$ bezeichnet.}
\faktfolgerung {Dann ist $L$ der Quotientenkörper von $S$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Voraussetzung ist $L$ endlich über $K$. Daher erfüllt $f$ eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^n +q_{n-1} f^{n-1} + \cdots + q_1 f + q_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q_i
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein gemeinsames Vielfaches der Nenner aller
\mathbed {q_i} {}
{i=1 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {.}
Multiplikation mit $r^n$ ergibt dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (rf)^n +q_{n-1}r (rf)^{n-1} + \cdots + q_1r^{n-1}(rf) + q_0r^n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist eine Ganzheitsgleichung für $rf$, da die Koeffizienten
\mathl{q_{n-i}r^i}{} nach Wahl von $r$ alle zu $R$ gehören. Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{rf
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da $S$ der ganze Abschluss ist. Somit zeigt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ { \frac{ rf }{ r } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass $f$ als ein Bruch mit einem Zähler aus $S$ und einem Nenner aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
darstellbar ist, also im Quotientenkörper
\mathl{Q(S)}{} liegt.
Insbesondere zeigt die vorstehende Aussage, dass bei einer echten Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subset }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch der ganze Abschluss von $R$ echt größer als $R$ ist. Für uns steht die Situation, wo
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Körpererweiterung der rationalen Zahlen und $S$ der ganze Abschluss von $\Z$ in $L$ ist, im Mittelpunkt.
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