Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 17/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

\setcounter{section}{17}






\zwischenueberschrift{Ganzheit}




\inputdefinition
{}
{

Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mathl{R \subseteq S}{} eine Ring\-erweiterung. Für ein Element
\mathl{x \in S}{} heißt eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \cdots + r_1x +r_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die Koeffizienten \mathind { r_{i} } { i=0 , \ldots , n-1 }{,} zu $R$ gehören, eine \definitionswort {Ganzheitsgleichung}{} für $x$.

}




\inputdefinition
{}
{

Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mathl{R \subseteq S}{} eine Ring\-erweiterung. Ein Element
\mathl{x \in S}{} heißt \definitionswort {ganz}{} \zusatzklammer {über $R$} {} {,} wenn $x$ eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{} mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.

}

Wenn $R=K$ ein Körper und $S$ eine $K$-Algebra ist, so ist
\mathl{x \in S}{} \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über $K$ genau dann, wenn es ganz über $K$ ist. Dies stimmt aber im Allgemeinen nicht, siehe Aufgabe 17.2.

Die einfachsten Ganzheitsgleichungen haben die Form
\mathl{x^n -r=0}{} mit
\mathl{r \in R}{} bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n }
{ = }{r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn also ein Element einer Ringerweiterung eine Wurzel eines Elementes aus $R$ ist, so ist diese Wurzel ganz über dem Grundring. Trivialerweise sind die Elemente aus $R$ ganz über $R$.




\inputbeispiel{}
{

In der Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq }{ \Z[{ \mathrm i}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist ${ \mathrm i}$ \definitionsverweis {ganz}{}{} über $\Z$, wie die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathrm i}^2 }
{ =} { -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zeigt. Auch für ein beliebiges Element
\mathl{z=a+b{ \mathrm i} \in \Z[ { \mathrm i}]}{} kann man direkt eine Ganzheitsgleichung angeben, nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a+b{ \mathrm i} \right) }^2 -2a { \left( a+b{ \mathrm i} \right) } +a^2 +b^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathdisp {P = X^n +r_{n-1}X^{n-1} + \cdots + r_2X^2 + r_1X+r_0 \in R[X]} { }
ein \definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{} über $R$. Dann ist in der \definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq} { R[X]/(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Restklasse $x$ von $X$ im Restklassenring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ R[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ganz über $R$, da ja $P$ unmittelbar die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n +r_{n-1} x^{n-1} + \cdots + r_2x^2 + r_1x+r_0 }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} liefert.


}




\inputdefinition
{}
{

Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mathl{R \subseteq S}{} eine Ring\-erweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente
\mathl{x \in S}{,} die \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ sind, den \definitionswort {ganzen Abschluss}{} von $R$ in $S$.

}




\inputdefinition
{}
{

Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mathl{R \subseteq S}{} eine Ring\-erweiterung. Dann heißt $S$ \definitionswort {ganz}{} über $R$, wenn jedes Element
\mathl{x \in S}{} \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ ist.

}

$S$ ist genau dann ganz über $R$, wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $S$ ist.

Wir wollen zeigen, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Der vermutlich erste Gedanke, die jeweiligen Ganzheitsgleichungen miteinander \anfuehrung{geschickt}{} zu kombinieren, führt nicht zum Ziel. Stattdessen braucht man das folgende Kriterium für die Ganzheit.





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mathl{R \subseteq S}{} eine Ringerweiterung.}
\faktuebergang {Für ein Element
\mathl{x \in S}{} sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$x$ ist \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$. }{Es gibt eine $R$-Unteralgebra $T$ von $S$ mit
\mathl{x \in T}{} und die ein endlicher $R$-Modul ist. }{Es gibt einen endlichen $R$-Untermodul $M$ von $S$, der einen \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} aus $S$ enthält, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xM }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra
\mathl{R[x]}{} von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \cdots + r_1x +r_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^n }
{ =} { - r_{n-1}x^{n-1} - r_{n-2}x^{n-2} - \cdots - r_1x -r_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Man kann also $x^n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^{i}$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} ersetzen. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[x] }
{ =} { R + Rx + Rx^2 + \cdots + Rx^{n-2} + Rx^{n-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die Potenzen
\mathl{x^0=1,x^1,x^2 , \ldots , x^{n-1}}{} bilden ein endliches Erzeugendensystem von
\mathl{T=R[x]}{.}

(2) $\Rightarrow$ (3). Sei
\mathl{x \in T \subseteq S}{,} $T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist
\mathl{xT \subseteq T}{,} und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.

(3) $\Rightarrow$ (1). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xM }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Seien
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere
\mathl{xy_i}{} für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der \mathind { y_j } { j=1 , \ldots , n }{.} Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x y_i }
{ =} { \sum_{j = 1}^n r_{ij} y_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{r_{ij}\in R}{,} oder, als Matrix geschrieben,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ . \\ . \\ y_n \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} r_{1,1} & r_{1,2} & . & . & r_{1,n} \\ r_{2,1} & r_{2,2} & . & . & r_{2,n} \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ r_{n,1} & r_{n,2} & . & . & r_{n,n} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ . \\ . \\ y_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} { \begin{pmatrix} x-r_{1,1} & -r_{1,2} & . & . & -r_{1,n} \\ -r_{2,1} & x-r_{2,2} & . & . & -r_{2,n} \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ -r_{n,1} & -r_{n,2} & . & . & x-r_{n,n} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ . \\ . \\ y_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nennen wir diese Matrix $A$ \zusatzklammer {die Einträge sind aus $S$} {} {,} und sei
\mathl{A^{ \operatorname{adj} }}{} die \definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{.} Dann gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A^{ \operatorname{adj} } A y }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {$y$ bezeichne den Vektor \mathlk{(y_1 , \ldots , y_n)}{}} {} {} und nach der Cramerschen Regel ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A^{ \operatorname{adj} } A }
{ = }{ (\det A )E_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ((\det A ) E_n) y }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\det A ) y_j }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $j$ und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\det A ) z }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{z \in M}{.} Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det A }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

}






\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mathl{R \subseteq S}{} eine \definitionsverweis {Ring\-erweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{} von $R$ in $S$ eine $R$-Unteralgebra von $S$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Ganzheitsgleichungen \mathind { X-r } { r \in R }{,} zeigen, dass jedes Element aus $R$ ganz über $R$ ist. Seien
\mathl{x_1 \in S}{} und
\mathl{x_2 \in S}{} ganz über $R$. Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche $R$-Unteralgebren
\mathl{T_1,T_2 \subseteq S}{} mit
\mathl{x_1 \in T_1}{} und
\mathl{x_2 \in T_2}{.} Sei
\mathl{y_1, \ldots , y_n}{} ein $R$-Erzeugendensystem von $T_1$ und
\mathl{z_1, \ldots, z_m}{} ein $R$-Erzeugendensystem von $T_2$. Wir können annehmen, dass
\mathl{y_1=z_1=1}{} ist. Betrachte den endlich erzeugten $R$-Modul
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} {T_1 \cdot T_2 }
{ =} {\langle y_iz_j, \, i= 1 , \ldots , n, \, j = 1 , \ldots , m \rangle }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} der offensichtlich
\mathl{x_1+x_2}{} und
\mathl{x_1x_2}{} \zusatzklammer {und $1$} {} {} enthält. Dieser $R$-Modul $T$ ist auch wieder eine $R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum r_{ij} y_iz_j \right) } { \left( \sum s_{kl} y_kz_l \right) } }
{ =} { \sum r_{ij}s_{kl} y_iy_k z_jz_l }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und für die Produkte gilt
\mathl{y_iy_k \in T_1}{} und
\mathl{z_jz_l \in T_2}{,} so dass diese Linearkombination zu $T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von $S$, der $R$ enthält. Also liegt eine $R$-Unteralgebra vor.

}






\zwischenueberschrift{Normale Integritätsbereiche}




\inputdefinition
{}
{

Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mathl{R \subseteq S}{} eine \definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{.} Man nennt $R$ \definitionswort {ganz-abgeschlossen}{} in $S$, wenn der \definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{} von $R$ in $S$ gleich $R$ ist.

}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} heißt \definitionswort {normal}{,} wenn er \definitionsverweis {ganz-abgeschlossen}{}{} in seinem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} ist.

}




\inputdefinition
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mathl{Q(R)}{} sein \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{.} Dann nennt man den \definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{} von $R$ in
\mathl{Q(R)}{} die \definitionswort {Normalisierung}{} von $R$.

}


Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ \definitionsverweis {normal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} von $R$ und
\mathl{q \in K}{} ein Element, das die \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q^n+ r_{n-1}q^{n-1} + r_{n-2}q^{n-2} + \cdots + r_1q +r_0 }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{r_{i} \in R}{} erfüllt. Wir schreiben
\mathbed {q= a/b} {mit}
{a,b \in R} {}
{b \neq 0} {} {} {,} wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also \mathkor {} {a} {und} {b \in R} {} keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $R$ ist, da dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{ a b^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu $R$ gehört.

Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^n$ und erhalten in $R$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^n+ { \left( r_{n-1}b \right) } a^{n-1} + { \left( r_{n-2}b^2 \right) } a^{n-2} + \cdots + { \left( r_1b^{n-1} \right) } a + { \left( r_0 b^n \right) } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden \mathkon { { \left( r_{n-i}b^{i} \right) } a^{n-i} } { für } { i \geq 1 }{ } und daher auch den ersten, also $a^n$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.

}





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Normal/Wurzeln aus Elementen im Quotientenkörper/Fakt}
{Korollar}
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mathl{a \in R}{.} Wenn es ein Element
\mathl{x \in Q(R)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^k }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, so ist bereits
\mathl{x \in R}{.}

}
{

Die Voraussetzung bedeutet, dass
\mathl{x \in Q(R)}{} ganz über $R$ ist, da es die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^k-a }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt. Also ist
\mathl{x \in R}{} wegen der Normalität.

}


Die einfachsten Beispiele für irrationale reelle Zahlen sind
\mathl{\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}}{} u.s.w. Diese Beobachtung wird durch die folgende Aussage wesentlich verallgemeinert.





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt}
{Korollar}
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha_i$ ein Vielfaches von $k$ sind. Dann ist die reelle Zahl
\mathdisp {n^{\frac{1}{k} }} { }
irrational.

}
{

Die Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann nach Voraussetzung keine $k$-te Wurzel in $\Z$ besitzen, da in einer $k$-ten Potenz alle Exponenten zu Primzahlen Vielfache von $k$ sind. Wegen der Faktorialität von $\Z$ und der daraus nach Satz 17.12 resultierenden \definitionsverweis {Normalität}{}{} kann es auch kein
\mathl{x \in Q(\Z)=\Q}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^k }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} geben. Daher ist die reelle Zahl $n^{\frac{1}{k} }$ irrational.

}







\zwischenueberschrift{Der ganze Abschluss in Erweiterungskörpern}





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{K=Q(R)}{} und sei
\mathl{K \subseteq L}{} eine endliche Körpererweiterung. Der \definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{} von $R$ in $L$ sei mit $S$ bezeichnet.}
\faktfolgerung {Dann ist $L$ der Quotientenkörper von $S$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mathl{f \in L}{.} Nach Voraussetzung ist $L$ endlich über $K$. Daher erfüllt $f$ eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^n +q_{n-1} f^{n-1} + \cdots + q_1 f + q_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{q_i \in K}{.} Sei
\mathl{r \in R}{} ein gemeinsames Vielfaches der Nenner aller
\mathl{q_i}{,}
\mathl{i=1 , \ldots , n-1}{.} Multiplikation mit $r^n$ ergibt dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (rf)^n +q_{n-1}r (rf)^{n-1} + \cdots + q_1r^{n-1}(rf) + q_0r^n }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist eine Ganzheitsgleichung für $rf$, da die Koeffizienten
\mathl{q_{n-i}r^i}{} nach Wahl von $r$ alle zu $R$ gehören. Damit ist
\mathl{rf \in S}{,} da $S$ der ganze Abschluss ist. Somit zeigt
\mathl{f= \frac{rf}{r}}{,} dass $f$ als ein Bruch mit einem Zähler aus $S$ und einem Nenner aus
\mathl{R \subseteq S}{} darstellbar ist, also im Quotientenkörper
\mathl{Q(S)}{} liegt.

}


Insbesondere zeigt die vorstehende Aussage, dass bei einer echten Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subset }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch der ganze Abschluss von $R$ echt größer als $R$ ist. Für uns steht die Situation, wo
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche Körpererweiterung der rationalen Zahlen und $S$ der ganze Abschluss von $\Z$ in $L$ ist, im Mittelpunkt.

<< | Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)