Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 17

Ganzheit

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei  $R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Für ein Element  $x\in S$  heißt eine Gleichung der Form

$x^n+r_{n-1}{x}^{n-1}+r_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_0=0,$

wobei die Koeffizienten $r_i,i=0,\dots ,n-1$, zu $R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für $x$.

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und  $R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Ein Element  $x\in S$  heißt ganz (über $R$), wenn $x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.

Wenn  $R=K$  ein Körper und $S$ eine $K$-Algebra ist, so ist  $x\in S$  algebraisch über $K$ genau dann, wenn es ganz über $K$ ist. Dies stimmt aber im Allgemeinen nicht, siehe Aufgabe 17.2.

Die einfachsten Ganzheitsgleichungen haben die Form  $x^n-r=0$  mit  $r\in R$  bzw.  $x^n=r$.  Wenn also ein Element einer Ringerweiterung eine Wurzel eines Elementes aus $R$ ist, so ist diese Wurzel ganz über dem Grundring. Trivialerweise sind die Elemente aus $R$ ganz über $R$.

Beispiel

In der Ringerweiterung  $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$  ist $\mathrm{i}$ ganz über $\mathbb{Z}$, wie die Ganzheitsgleichung

${\mathrm{i}}^2=-1$

zeigt. Auch für ein beliebiges Element  $z=a+b\mathrm{i}\in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$  kann man direkt eine Ganzheitsgleichung angeben, nämlich

${(a+b\mathrm{i})}^2-2a(a+b\mathrm{i})+a^2+b^2=0.$

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und

$P=X^n+r_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +r_2{X}^2+r_{1}X+r_0\in R[X]$

ein normiertes Polynom über $R$. Dann ist in der Ringerweiterung

$R\subseteq R[X]/(P)$

die Restklasse $x$ von $X$ im Restklassenring  $S=R[X]/(P)$  ganz über $R$, da ja $P$ unmittelbar die Ganzheitsgleichung

$x^n+r_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +r_2{x}^2+r_{1}x+r_0=0$

liefert.

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei  $R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Dann heißt $S$ ganz über $R$, wenn jedes Element  $x\in S$  ganz über $R$ ist.

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und  $R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente  $x\in S$,  die ganz über $R$ sind, den ganzen Abschluss von $R$ in $S$.

$S$ ist genau dann ganz über $R$, wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $S$ ist.

Wir wollen zeigen, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Der vermutlich erste Gedanke, die jeweiligen Ganzheitsgleichungen miteinander „geschickt“ zu kombinieren, führt nicht zum Ziel. Stattdessen braucht man das folgende Kriterium für die Ganzheit.

Lemma

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und  $R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Für ein Element  $x\in S$  sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $x$ ist ganz über $R$.
2. Es gibt eine $R$-Unteralgebra $T$ von $S$ mit  $x\in T$  und die ein endlicher $R$-Modul ist.
3. Es gibt einen endlichen $R$-Untermodul $M$ von $S$, der einen Nichtnullteiler aus $S$ enthält, mit  $xM\subseteq M$. 

Beweis

(1) $\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von $x$ erzeugte $R$-Unteralgebra $R[x]$ von $S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in $x$ mit Koeffizienten aus $R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

$x^n+r_{n-1}{x}^{n-1}+r_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_0=0$

ergibt sich

$x^n=-r_{n-1}{x}^{n-1}-r_{n-2}{x}^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_0.$

Man kann also $x^n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit $x^i$ kann man jede Potenz von $x$ mit einem Exponenten $\ge n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad $\le n-1$ ersetzen. Damit ist

$R[x]=R+Rx+R{x}^2+\cdots +R{x}^{n-2}+R{x}^{n-1}$

und die Potenzen $x^0=1,x^1,x^2,\dots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches $R$-Modul-Erzeugendensystem von  $T=R[x]$. 

(2) $\Rightarrow$ (3). Es sei  $x\in T\subseteq S$,  $T$ eine $R$-Unteralgebra, die als $R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist  $xT\subseteq T$,  und $T$ enthält den Nichtnullteiler $1$.

(3) $\Rightarrow$ (1). Sei  $M\subseteq S$  ein endlich erzeugter $R$-Untermodul mit  $xM\subseteq M$.  Es seien $y_1,\dots ,y_n$ erzeugende Elemente von $M$. Dann ist insbesondere $x{y}_i$ für jedes $i$ eine $R$-Linearkombination der $y_j,j=1,\dots ,n$. Dies bedeutet

$x{y}_i=\sum _{j=1}^n{r}_{ij}{y}_j$

mit  $r_{ij}\in R$,  oder, als Matrix geschrieben,

$x\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{r}_{1,1}& r_{1,2}& \dots & r_{1,n}\\ r_{2,1}& r_{2,2}& \dots & r_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{n,1}& r_{n,2}& \dots & r_{n,n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right).$

Dies schreiben wir als

$0=\left(\begin{array}{cccc}x-r_{1,1}& -r_{1,2}& \dots & -r_{1,n}\\ -r_{2,1}& x-r_{2,2}& \dots & -r_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -r_{n,1}& -r_{n,2}& \dots & x-r_{n,n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right).$

Nennen wir diese Matrix $A$ (die Einträge sind aus $S$), und sei $A^{\mathrm{adj}}$ die adjungierte Matrix. Dann gilt  $A^{\mathrm{adj}}Ay=0$  ($y$ bezeichne den Vektor $(y_1,\dots ,y_n)$) und nach der Cramerschen Regel ist  $A^{\mathrm{adj}}A=(detA)E_n$,  also gilt

$((detA)E_n)y=0.$

Es ist also  $(detA)y_j=0$  für alle $j$ und damit

$(detA)z=0$

für alle  $z\in M$.  Da $M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss  $detA=0$  sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in $x$ vom Grad $n$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

$◻$

Korollar

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei  $R\subseteq S$  eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von $R$ in $S$ eine $R$-Unteralgebra von $S$.

Beweis

Die Ganzheitsgleichungen $X-r,r\in R$, zeigen, dass jedes Element aus $R$ ganz über $R$ ist. Es seien  $x_1\in S$  und  $x_2\in S$  ganz über $R$. Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche $R$-Unteralgebren  $T_1,T_2\subseteq S$  mit  $x_1\in T_1$  und  $x_2\in T_2$.  Es sei $y_1,\dots ,y_n$ ein $R$-Erzeugendensystem von $T_1$ und $z_1,\dots ,z_m$ ein $R$-Erzeugendensystem von $T_2$. Wir können annehmen, dass  $y_1=z_1=1$  ist. Betrachte den endlich erzeugten $R$-Modul

$T=T_1\cdot T_2=⟨y_i{z}_j,i=1,\dots ,n,j=1,\dots ,m⟩,$

der offensichtlich $x_1+x_2$ und $x_1{x}_2$ (und $1$) enthält. Dieser $R$-Modul $T$ ist auch wieder eine $R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt

$(\sum r_{ij}{y}_i{z}_j)(\sum s_{kl}{y}_k{z}_l)=\sum r_{ij}{s}_{kl}{y}_i{y}_k{z}_j{z}_l,$

und für die Produkte gilt  $y_i{y}_k\in T_1$  und  $z_j{z}_l\in T_2$,  sodass diese Linearkombination zu $T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von $S$, der $R$ enthält. Also liegt eine $R$-Unteralgebra vor.

$◻$

Normale Integritätsbereiche

Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und  $R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Man nennt $R$ ganz-abgeschlossen in $S$, wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $R$ ist.

Definition

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Definition

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von $R$ in $Q(R)$ die Normalisierung von $R$.

Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.

Satz

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist $R$ normal.

Beweis

Es sei  $K=Q(R)$  der Quotientenkörper von $R$ und  $q\in K$  ein Element, das die Ganzheitsgleichung

$q^n+r_{n-1}{q}^{n-1}+r_{n-2}{q}^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_0=0$

mit  $r_i\in R$  erfüllt. Wir schreiben $q=a/b$ mit $a,b\in R$, $b\ne 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also $a$ und $b$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir müssen zeigen, dass $b$ eine Einheit in $R$ ist, da dann  $q=a{b}^{-1}$  zu $R$ gehört.

Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^n$ und erhalten in $R$

$a^n+\left(r_{n-1}b\right)a^{n-1}+\left(r_{n-2}{b}^2\right)a^{n-2}+\cdots +\left(r_1{b}^{n-1}\right)a+\left(r_0{b}^n\right)=0.$

Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden $\left(r_{n-i}{b}^i\right)a^{n-i}$ für $i\ge 1$ und daher auch den ersten, also $a^n$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist, im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.

$◻$

Korollar

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und  $a\in R$. 

Wenn es ein Element  $x\in Q(R)$  mit  $x^k=a$  gibt, so ist bereits  $x\in R$. 

Beweis

Die Voraussetzung bedeutet, dass  $x\in Q(R)$  ganz über $R$ ist, da es die Ganzheitsgleichung

$X^k-a=0$

erfüllt. Also ist  $x\in R$  wegen der Normalität.

$◻$

Die einfachsten Beispiele für irrationale reelle Zahlen sind $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ u.s.w. Diese Beobachtung wird durch die folgende Aussage wesentlich verallgemeinert.

Korollar

Es sei  $n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$  die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${\alpha }_i$ ein Vielfaches von $k$ sind.

Dann ist die reelle Zahl

$n^{\frac{1}{k}}$

irrational.

Beweis

Die Zahl  $n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$  kann nach Voraussetzung keine $k$-te Wurzel in $\mathbb{Z}$ besitzen, da in einer $k$-ten Potenz alle Exponenten zu Primzahlen Vielfache von $k$ sind. Wegen der Faktorialität von $\mathbb{Z}$ und der daraus nach Satz 17.12 resultierenden Normalität kann es auch kein  $x\in Q(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}$  mit  $x^k=n$  geben. Daher ist die reelle Zahl $n^{\frac{1}{k}}$ irrational.

$◻$

Der ganze Abschluss in Erweiterungskörpern

Lemma

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Der ganze Abschluss von $R$ in $L$ sei mit $S$ bezeichnet.

Dann ist $L$ der Quotientenkörper von $S$.

Beweis

Es sei  $f\in L$.  Nach Voraussetzung ist $L$ endlich über $K$. Daher erfüllt $f$ eine Ganzheitsgleichung der Form

$f^n+q_{n-1}{f}^{n-1}+\cdots +q_{1}f+q_0=0$

mit  $q_i\in K$.  Sei  $r\in R$  ein gemeinsames Vielfaches der Nenner aller $q_i$, $i=1,\dots ,n-1$. Multiplikation mit $r^n$ ergibt dann

$(rf{)}^n+q_{n-1}r(rf{)}^{n-1}+\cdots +q_1{r}^{n-1}(rf)+q_0{r}^n=0.$

Dies ist eine Ganzheitsgleichung für $rf$, da die Koeffizienten $q_{n-i}{r}^i$ nach Wahl von $r$ alle zu $R$ gehören. Damit ist  $rf\in S$,  da $S$ der ganze Abschluss ist. Somit zeigt  $f=\frac{rf}{r}$,  dass $f$ als ein Bruch mit einem Zähler aus $S$ und einem Nenner aus  $R\subseteq S$  darstellbar ist, also im Quotientenkörper $Q(S)$ liegt.

$◻$

Insbesondere zeigt die vorstehende Aussage, dass bei einer echten Körpererweiterung  $K\subseteq L$  auch der ganze Abschluss von $R$ echt größer als $R$ ist. Für uns steht die Situation, wo  $\mathbb{Q}\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung der rationalen Zahlen und $S$ der ganze Abschluss von $\mathbb{Z}$ in $L$ ist, im Mittelpunkt.

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