Da die
Norm
stetig
ist, existiert nach
Fakt
das rechte Integral, und zwar ist es gleich dem
Infimum
über alle
Treppenintegrale
zu
oberen Treppenfunktionen
der Funktion . Diese Treppenintegrale werden zu einer Unterteilung
durch
mit
gegeben. Andererseits steht nach der Definition der
Kurvenlänge
links das Supremum über die zu einer solchen Unterteilung gehörigen Summen
-
Aufgrund der
Mittelwertabschätzung
gilt
-
Durch Aufsummieren ergibt sich daher die Abschätzung
-
Hierbei müssen wir links das Supremum und rechts das Infimum über alle Unterteilungen nehmen.
Nehmen wir an, dass das Supremum der linken Seite größer als das Infimum der rechten Seite ist. Dann gibt es eine Unterteilung derart, dass die Längensumme links zu dieser Unterteilung mindestens gleich , und eine Unterteilung derart, dass das Treppenintegral rechts höchstens gleich ist. Wir können zur gemeinsamen Verfeinerung übergehen und annehmen, dass es sich um die gleiche Unterteilung handelt, und erhalten einen Widerspruch. Das Supremum der linken Seite ist also durch das Infimum der rechten Seite beschränkt.
D.h. die Kurve ist rektifizierbar und es gilt
-
Diese Beziehung gilt auch für jedes beliebige Teilintervall
.
Es sei die Länge der auf definierten Kurve. Es genügt dann zu zeigen, dass diese Funktion nach ableitbar und eine Stammfunktion zu ist. Für den zugehörigen
Differenzenquotienten
in einem Punkt
gelten die Abschätzungen
()
Für
konvergieren die beiden äußeren Seiten gegen
, sodass auch der Differenzenquotient dagegen konvergieren muss.