Lemma von Gauß (Z)/Eisenstein-Kriterium/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R [X]$ der Polynomring über $R$ . Es sei $p \in R$ ein Primelement.

Dann ist $p$ auch in $R [X]$ prim.

Es sei $p h = f g$ . Wir nehmen an, dass $p$ weder $f$ noch $g$ teilt. Dann teilt $p$ nicht alle Koeffizienten von $f$ und von $g$ . Es sei $f = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}$ und $g = \sum_{j = 0}^{m} b_{j} X^{j}$ und es seien $i_{0}$ bzw. $j_{0}$ die kleinsten Indizes derart, dass $a_{i_{0}}$ (bzw. $b_{j_{0}}$ ) kein Vielfaches von $p$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von $p$ ). Wir betrachten den $(i_{0} + j_{0})$ -ten Koeffizienten von $f g$ , dieser ist

c_{i_{0} + j_{0}} = a_{0} b_{i_{0} + j_{0}} + \dots + a_{i_{0} - 1} b_{j_{0} + 1} + a_{i_{0}} b_{j_{0}} + a_{i_{0} + 1} b_{j_{0} - 1} + \dots + a_{i_{0} + j_{0}} b_{0} .

Die Summanden links sind Vielfache von $p$ aufgrund der Wahl von $i_{0}$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von $p$ . Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von $p$ ist, muss auch der mittlere Summand $a_{i_{0}} b_{j_{0}}$ ein Vielfaches von $p$ sein. Da $p$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.

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Die folgende Aussage heißt Lemma von Gauß.

Lemma

Es sei $f \in ℤ [X]$ ein nichtkonstantes Polynom derart, dass in $ℤ [X]$ nur Faktorzerlegungen $f = g h$ mit $g \in ℤ oder h \in ℤ$ möglich sind.

Dann ist $f$ irreduzibel in $ℚ [X]$ .

Beweis

Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung $f = g h$ mit nicht-konstanten Polynomen $g, h \in ℚ [X]$ . Sowohl in $g$ als auch in $h$ kommen nur endlich viele Nenner aus $ℤ$ vor, sodass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner $r \in ℤ$ multiplizieren kann und somit eine Darstellung $r f = \tilde{g} \tilde{h}$ mit $\tilde{g}, \tilde{h} \in ℤ [X]$ erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei $r = p_{1} \dots p_{n}$ die Primfaktorzerlegung von $r$ . Nach Fakt ist $p_{1}$ auch im Polynomring $ℤ [X]$ prim. Da es das Produkt $\tilde{g} \tilde{h}$ teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir $\tilde{h}$ . Dann kann man mit $p_{1}$ kürzen und erhält eine Gleichung der Form

r^{'} f = \tilde{g} {\tilde{h}}^{'} .

Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung

f = g^{'} h^{'}

mit nicht konstanten Polynomen $h^{'}, g^{'} \in ℤ [X]$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

◻

Lemma

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $F = \sum_{i = 0}^{n} c_{i} X^{i} \in R [X]$ ein Polynom. Es sei $p \in R$ ein Primelement mit der Eigenschaft, dass $p$ den Leitkoeffizienten $c_{n}$ nicht teilt, alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten $c_{0}$ teilt.

Dann besitzt $F$ keine Zerlegung $F = G H$ mit nicht-konstanten Polynomen $G, H \in R [X]$ .

Beweis

Es sei angenommen, dass es eine Zerlegung $F = G H$ mit nicht-konstanten Polynomen $G, H \in R [X]$ gebe, und sei $G = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} X^{i}$ und $H = \sum_{j = 0}^{m} b_{j} X^{j}$ . Dann ist $c_{0} = a_{0} b_{0}$ und dies ist ein Vielfaches von $p$ , aber nicht von $p^{2}$ . Da $p$ prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir $a_{0}$ , aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von $G$ ein Vielfaches von $p$ , da sonst $G$ und damit auch $F$ ein Vielfaches von $p$ wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei $r$ der kleinste Index derart, dass $a_{r}$ kein Vielfaches von $p$ ist. Es ist $r \leq grad (G) < grad (F)$ , da $H$ nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten $c_{r}$ , für den

c_{r} = a_{0} b_{r} + a_{1} b_{r - 1} + \dots + a_{r - 1} b_{1} + a_{r} b_{0}

gilt. Hierbei sind $c_{r}$ und alle Summanden $a_{i} b_{r - i}$ , $i = 0, \dots, r - 1$ , Vielfache von $p$ . Daher muss auch der letzte Summand $a_{r} b_{0}$ ein Vielfaches von $p$ sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da $p ∤ a_{r}$ und $p ∤ b_{0}$ .

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Das folgende Kriterium für die Irreduzibilität von Polynomen heißt Eisenstein-Kriterium.

Satz

Es sei $F = \sum_{i = 0}^{n} c_{i} X^{i} \in ℤ [X]$ ein Polynom. Es sei $p \in ℤ$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass $p$ den Leitkoeffizienten $c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten $c_{0}$ teilt.

Dann ist $F$ irreduzibel in $ℚ [X]$ .

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

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