Lemma von Gauß (Z)/Eisenstein-Kriterium/Einführung/Textabschnitt

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Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei ein Primelement.

Dann ist auch in prim.

Beweis  

Sei . Wir nehmen an, dass weder noch teilt. Dann teilt nicht alle Koeffizienten von und von . Es sei und und es seien bzw. die kleinsten Indizes derart, dass (bzw. ) kein Vielfaches von ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von ). Wir betrachten den -ten Koeffizienten von , dieser ist

Die Summanden links sind Vielfache von aufgrund der Wahl von und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von . Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von ist, muss auch der mittlere Summand ein Vielfaches von sein. Da prim ist, ist dies ein Widerspruch.


Die folgende Aussage heißt Lemma von Gauß.



Lemma  

Es sei ein nichtkonstantes Polynom derart, dass in nur Faktorzerlegungen  mit möglich sind.

Dann ist irreduzibel in .

Beweis  

 Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung  mit nicht-konstanten Polynomen . Sowohl in als auch in kommen nur endlich viele Nenner aus vor, so dass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner multiplizieren kann und somit eine Darstellung  mit erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei die Primfaktorzerlegung von . Nach Fakt ist auch im Polynomring prim. Da es das Produkt teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir . Dann kann man mit kürzen und erhält eine Gleichung der Form

Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung

mit nicht konstanten Polynomen  im Widerspruch zur Voraussetzung.




Lemma  

Sei ein Integritätsbereich und sei ein Polynom. Es sei ein Primelement mit der Eigenschaft, dass den Leitkoeffizienten nicht teilt, alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass nicht den konstanten Koeffizienten teilt.

Dann besitzt keine Zerlegung mit nicht-konstanten Polynomen .

Beweis  

 Sei angenommen, dass es eine Zerlegung mit nicht-konstanten Polynomen gebe, und sei und . Dann ist und dies ist ein Vielfaches von , aber nicht von . Da prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir , aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von ein Vielfaches von , da sonst und damit auch ein Vielfaches von wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei der kleinste Index derart, dass kein Vielfaches von ist. Es ist , da nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten , für den

gilt. Hierbei sind und alle Summanden , , Vielfache von . Daher muss auch der letzte Summand ein Vielfaches von sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da und .


Das folgende Kriterium für die Irreduzibilität von Polynomen heißt Eisenstein-Kriterium.



Satz  

Es sei ein Polynom. Es sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass den Leitkoeffizienten nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass nicht den konstanten Koeffizienten teilt.

Dann ist irreduzibel in .

Beweis  

Dies folgt aus Fakt und Fakt.