Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Direkter Summand/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei ein endlichdimensionaler -Untervektorraum. Nach Fakt  (2) ist mit einem -Komplement, das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches gilt.
  Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei

eine Reynolds-Abbildung. Nach Fakt gibt es zu jedem einen endlichdimensionalen -Untervektorraum mit . Wegen der -Invarianz von ist und die Einschränkung ist die Identität auf . Ferner ist . Bei , , könnte man nämlich mit Hilfe einer -linearen Abbildung

mit eine Linearform auf , nämlich , angeben, die zu gehört. Dadurch ist auf eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben.
Zur Existenz. Wir wählen zu gemäß Fakt einen endlichdimensionalen -Untervektorraum und setzen

wobei

die Projektion von auf längs des -Komplementes von in bezeichnet. Dabei ist unabhängig von der Wahl von . Zu einem anderen ist nämlich . Um dies zu zeigen kann man annehmen. Aus ergibt sich durch Schneiden mit sofort eine Zerlegung von , die wegen der Eindeutigkeit mit übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte -lineare Abbildung

Zu ist natürlich (für einen gewählten Unterraum) und somit ist die Einschränkung von auf die Identität. Für ein Gruppenelement und kann man mit dem gleichen Untervektorraum berechnen. Es sei die Zerlegung von in der direkten Zerlegung

Die Zerlegung von hat dann die Form , da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist

und ist in der Tat eine Reynolds-Abbildung.