Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Direkter Summand/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}V\subseteq R$  ein endlichdimensionaler ${}G$-Untervektorraum. Nach Fakt  (2) ist  ${}V=V^{G}\oplus W$  mit einem ${}G$-Komplement, das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches  ${}{\left({W}^{*}\right)}^{G}=0$  gilt.
  Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer ${}G$-invarianten Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei

$\Phi \colon R\longrightarrow R^{G}$

eine ${}G$-invariante Reynolds-Abbildung. Nach Fakt gibt es zu jedem  ${}f\in R$  einen endlichdimensionalen ${}G$-Untervektorraum  ${}V\subseteq R$  mit  ${}f\in V$,  es sei ${}W$ das ${}G$-invariante direkte Komplement von ${}V^{G}$ in ${}V$. Hierbei ist  ${}\Phi (W)=0$.  Bei ${}u\in \Phi (W)$, ${}u\neq 0$, könnte man nämlich mit Hilfe einer ${}K$-linearen Abbildung

$h\colon R^{G}\longrightarrow K$

mit  ${}h(u)\neq 0$  eine Linearform ${}\neq 0$ auf ${}R$, nämlich ${}h\circ \Phi$, angeben, die zu ${}{\left({W}^{*}\right)}^{G}$ gehört, was ein Widerspruch zu Fakt  (2) wäre. Die Einschränkung ${}\Phi {|}_{V^{G}}$ ist die Identität auf ${}V^{G}$ und damit ist  ${}\Phi (V)\subseteq V^{G}\subseteq V$.  Durch diese Eigenschaften ist ${}\Phi$ auf ${}V$ eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben.
Zur Existenz. Wir wählen zu  ${}f\in R$  gemäß Fakt einen endlichdimensionalen ${}G$-Untervektorraum  ${}V\subseteq R$  mit  ${}f\in V$  und setzen

${}\Phi (f):=\pi _{V}(f)\,,$

wobei

$\pi _{V}\colon V\longrightarrow V^{G}\subseteq R^{G}$

die Projektion von ${}V$ auf ${}V^{G}$ längs des ${}G$-Komplementes ${}W$von ${}V^{G}$ in ${}V$ bezeichnet. Dabei ist ${}\Phi (f)$ unabhängig von der Wahl von ${}V$. Zu einem anderen ${}V'$ ist nämlich  ${}\pi _{V'}{|}_{V\cap V'}=\pi _{V}{|}_{V\cap V'}$.  Um dies zu zeigen kann man  ${}V\subseteq V'$  annehmen. Aus  ${}V'=(V')^{G}\oplus W'$  ergibt sich durch Schneiden mit ${}V$ sofort eine Zerlegung von ${}V$, die wegen der Eindeutigkeit mit ${}V^{G}\oplus W$ übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte ${}K$-lineare Abbildung

$\Phi \colon R\longrightarrow R^{G}.$

Zu  ${}f\in R^{G}$  ist natürlich  ${}f\in V^{G}$  (für einen gewählten Untervektorraum) und somit ist die Einschränkung von ${}\Phi$ auf ${}R^{G}$ die Identität. Für ein Gruppenelement  ${}g\in G$  und  ${}f\in R$  kann man ${}\Phi (fg)$ mit dem gleichen Untervektorraum ${}V$ berechnen. Es sei  ${}f=(u,w)$  die Zerlegung von ${}f$ in der direkten Zerlegung

${}V=V^{G}\oplus W\,.$

Die Zerlegung von ${}fg$ hat dann die Form ${}(u,w')$, da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist

${}\Phi (fg)=\pi _{V}(fg)=u=\pi _{V}(f)=\Phi (f)\,,$

und ${}\Phi$ ist in der Tat eine ${}G$-invariante Reynolds-Abbildung.

Zur bewiesenen Aussage