Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Direkter Summand/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $V\subseteq R$  ein endlichdimensionaler $G$-Untervektorraum. Nach Fakt  (2) ist  $V=V^G\oplus W$  mit einem $G$-Komplement, das überdies eindeutig bestimmt ist und für welches  ${\left(W^{\ast }\right)}^G=0$  gilt.
  Es ist sinnvoll, zuerst die Eindeutigkeit einer $G$-invarianten Reynolds-Abbildung nachzuweisen. Es sei

$\mathrm{\Phi }:R⟶R^G$

eine $G$-invariante Reynolds-Abbildung. Nach Fakt gibt es zu jedem  $f\in R$  einen endlichdimensionalen $G$-Untervektorraum  $V\subseteq R$  mit  $f\in V$,  es sei $W$ das $G$-invariante direkte Komplement von $V^G$ in $V$. Hierbei ist  $\mathrm{\Phi }(W)=0$.  Bei $u\in \mathrm{\Phi }(W)$, $u\ne 0$, könnte man nämlich mit Hilfe einer $K$-linearen Abbildung

$h:R^G⟶K$

mit  $h(u)\ne 0$  eine Linearform $\ne 0$ auf $R$, nämlich $h\circ \mathrm{\Phi }$, angeben, die zu ${\left(W^{\ast }\right)}^G$ gehört, was ein Widerspruch zu Fakt  (2) wäre. Die Einschränkung $\mathrm{\Phi }{|}_{V^G}$ ist die Identität auf $V^G$ und damit ist  $\mathrm{\Phi }(V)\subseteq V^G\subseteq V$.  Durch diese Eigenschaften ist $\mathrm{\Phi }$ auf $V$ eindeutig bestimmt und somit kann es maximal eine Reynolds-Abbildung geben.
Zur Existenz. Wir wählen zu  $f\in R$  gemäß Fakt einen endlichdimensionalen $G$-Untervektorraum  $V\subseteq R$  mit  $f\in V$  und setzen

$\mathrm{\Phi }(f):={\pi }_V(f),$

wobei

${\pi }_V:V⟶V^G\subseteq R^G$

die Projektion von $V$ auf $V^G$ längs des $G$-Komplementes $W$von $V^G$ in $V$ bezeichnet. Dabei ist $\mathrm{\Phi }(f)$ unabhängig von der Wahl von $V$. Zu einem anderen $V^{\prime }$ ist nämlich  ${\pi }_{V^{\prime }}{|}_{V\cap V^{\prime }}={\pi }_V{|}_{V\cap V^{\prime }}$.  Um dies zu zeigen kann man  $V\subseteq V^{\prime }$  annehmen. Aus  $V^{\prime }=(V^{\prime }{)}^G\oplus W^{\prime }$  ergibt sich durch Schneiden mit $V$ sofort eine Zerlegung von $V$, die wegen der Eindeutigkeit mit $V^G\oplus W$ übereinstimmen muss. Somit haben wir eine wohldefinierte $K$-lineare Abbildung

$\mathrm{\Phi }:R⟶R^G.$

Zu  $f\in R^G$  ist natürlich  $f\in V^G$  (für einen gewählten Untervektorraum) und somit ist die Einschränkung von $\mathrm{\Phi }$ auf $R^G$ die Identität. Für ein Gruppenelement  $g\in G$  und  $f\in R$  kann man $\mathrm{\Phi }(fg)$ mit dem gleichen Untervektorraum $V$ berechnen. Es sei  $f=(u,w)$  die Zerlegung von $f$ in der direkten Zerlegung

$V=V^G\oplus W.$

Die Zerlegung von $fg$ hat dann die Form $(u,w^{\prime })$, da ja die Zerlegung die Gruppenoperation respektiert und die Gruppe in der ersten Komponente identisch operiert. Somit ist

$\mathrm{\Phi }(fg)={\pi }_V(fg)=u={\pi }_V(f)=\mathrm{\Phi }(f),$

und $\mathrm{\Phi }$ ist in der Tat eine $G$-invariante Reynolds-Abbildung.

Zur bewiesenen Aussage