Lineare Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung

$\phi :V⟶W$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1.  $\phi (u+v)=\phi (u)+\phi (v)$  für alle  $u,v\in V$. 
2.  $\phi (sv)=s\phi (v)$  für alle $s\in K$ und $v\in V$.

Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von $K$-Linearität. Die Identität ${\mathrm{Id}}_V:V\to V$, die Nullabbildung $V\to 0$ und die Inklusionen  $U\subseteq V$  von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung

$\phi \left(\sum _{i=1}^n{s}_i{v}_i\right)=\sum _{i=1}^n{s}_i\phi (v_i),$

siehe Aufgabe.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und sei $K^n$ der $n$-dimensionale Standardraum. Dann ist die $i$-te Projektion, also die Abbildung

$K^n⟶K,(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\dots ,x_n)⟼x_i,$

eine $K$-lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die $i$-te Projektion heißt auch die $i$-te Koordinatenfunktion.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Es seien

$\phi :U⟶V\text{ und }\psi :V⟶W$

lineare Abbildungen.

Dann ist auch die Verknüpfung

$\psi \circ \phi :U⟶W$

eine lineare Abbildung.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Es sei

$\phi :V⟶W$

eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

${\phi }^{-1}:W⟶V$

linear.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$