Lineare Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.

Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte spricht man von ${}K$-Linearität. Die Identität ${}\operatorname {Id} _{V}\colon V\rightarrow V$, die Nullabbildung ${}V\rightarrow 0$ und die Inklusionen ${}U\subseteq V$ von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K^{n}$ der ${}n$-dimensionale Standardraum. Dann ist die ${}i$-te Projektion, also die Abbildung

$K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{i-1},\,x_{i},\,x_{i+1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i},$

eine ${}K$-lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die ${}i$-te Projektion heißt auch die ${}i$-te Koordinatenfunktion.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi :U\longrightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\longrightarrow W$

lineare Abbildungen.

Dann ist auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$-Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$