Lineare Abbildung/Festlegungssatz/Endlichdimensional/Textabschnitt

Hinter der folgenden Aussage (dem Festlegungssatz) steckt das wichtige Prinzip, dass in der linearen Algebra (von endlichdimensionalen Vektorräumen) die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine endliche Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$, ${}i\in I$, Elemente in ${}W$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$

mit

$f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Da ${}f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W,$

indem wir jeden Vektor ${}v\in V$ mit der gegebenen Basis als

${}v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$

schreiben und

${}f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Die Eigenschaft ${}f(v_{i})=w_{i}$ ist dabei klar.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und ${}v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe.

$\Box$

 

Der Funktionsgraph einer linearen Abbildung von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$, die Abbildung ist allein durch den Proportionalitätsfaktor ${}k$ festgelegt.

Beispiel

Die einfachsten linearen Abbildungen sind (neben der Nullabbildung) diejenigen von ${}K$ nach ${}K$. Eine solche lineare Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \varphi (x),$

ist aufgrund von Fakt bzw. direkt aufgrund der Definition durch ${}\varphi (1)$ bzw. durch den Wert ${}\varphi (t)$ für ein einziges ${}t\in K$, ${}t\neq 0$, festgelegt. Es ist also ${}\varphi (x)=ax$ mit einem eindeutig bestimmten ${}a\in K$. Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn ${}K=\mathbb {R}$ ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von Proportionalität, und ${}a$ heißt der Proportionalitätsfaktor. In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als „Dreisatz“ auf.