Lineare Abbildung/Kern/Injektivitätskriterium/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung. Dann nennt man

${}\operatorname {kern} \varphi :=\varphi ^{-1}(0)={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

den Kern von ${}\varphi$.

Der Kern ist ein Untervektorraum von ${}V$.

Wichtig ist das folgende Injektivitätskriterium.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

sei eine ${}K$-lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn  ${}\operatorname {kern} \varphi =0$  ist.

Beweis

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben  ${}0\in V$  keinen weiteren Vektor  ${}v\in V$  mit  ${}\varphi (v)=0$  geben. Also ist  ${}\varphi ^{-1}(0)=\{0\}$. 
Es sei umgekehrt  ${}\operatorname {kern} \varphi =0$  und seien  ${}v_{1},v_{2}\in V$  gegeben mit  ${}\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$.  Dann ist wegen der Linearität

${}\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$

Daher ist  ${}v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$  und damit  ${}v_{1}=v_{2}$. 

$\Box$