Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

Es seien und Basen von bzw. und es seien die Spaltenvektoren von . (1). Die Abbildung hat die Eigenschaft

wobei der -te Eintrag des -ten Spaltenvektors ist. Daher ist

Dies ist genau dann , wenn für alle ist, und dies ist äquivalent zu

Dafür gibt es ein nichttrivales (Lösungs-)Tupel genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn nicht injektiv ist.
(2). Siehe Aufgabe.
(3). Sei . Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn bijektiv ist, so gibt es die (lineare) Umkehrabbildung mit

Es sei die Matrix zu und die Matrix zu . Die Matrix zur Identität ist die Einheitsmatrix. Nach Fakt ist daher

und somit ist invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.

Zur bewiesenen Aussage