Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ Basen von ${}V$ bzw. ${}W$ und es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{n}$ die Spaltenvektoren von ${}M$. (1). Die Abbildung ${}\varphi$ hat die Eigenschaft

${}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\,,$

wobei ${}s_{ij}$ der ${}i$-te Eintrag des ${}j$-ten Spaltenvektors ${}s_{j}$ ist. Daher ist

${}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}{\left(\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{ij}\right)}w_{i}\,.$

Dies ist genau dann ${}0$, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{ij}=0$ für alle ${}i$ ist, und dies ist äquivalent zu

${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{j}=0\,.$

Dafür gibt es ein nichttriviales (Lösungs-)Tupel ${}{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn der Kern von ${}\varphi$ nicht trivial ist. Dies ist gemäß Fakt äquivalent dazu, dass ${}\varphi$ nicht injektiv ist.
(2). Siehe Aufgabe.
(3). Sei ${}n=m$. Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn ${}\varphi$ bijektiv ist, so gibt es die (lineare) Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ mit

$\varphi \circ \varphi ^{-1}=\operatorname {Id} _{W}{\text{ und }}\varphi ^{-1}\circ \varphi =\operatorname {Id} _{V}.$

Es sei ${}M$ die Matrix zu ${}\varphi$ und ${}N$ die Matrix zu ${}\varphi ^{-1}$. Die Matrix zur Identität ist die Einheitsmatrix. Nach Fakt ist daher

${}M\circ N=E_{n}=N\circ M\,$

und somit ist ${}M$ invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.

Zur bewiesenen Aussage