Beweis
Es seien
und
Basen von
bzw.
und es seien
die Spaltenvektoren von
. (1). Die Abbildung
hat die Eigenschaft
-
![{\displaystyle {}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915cb5c634553af51dcd859dc3173a33230ec7c7)
wobei
der
-te Eintrag des
-ten Spaltenvektors ist. Daher ist
-
![{\displaystyle {}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}{\left(\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{ij}\right)}w_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3e38d12cce2b33396bf01dd984ab9af05fb54b)
Dies ist genau dann
, wenn
für alle
ist, und dies ist äquivalent zu
-
![{\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{j}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7618bf456894b6470d7fa30805c4d2df1fff685)
Dafür gibt es ein nichttriviales
(Lösungs-)Tupel
genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn
nicht injektiv ist.
(2). Siehe
Aufgabe.
(3). Sei
.
Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn
bijektiv ist, so gibt es die
(lineare)
Umkehrabbildung
mit
-
Es sei
die Matrix zu
und
die Matrix zu
. Die Matrix zur Identität ist die
Einheitsmatrix.
Nach
Fakt
ist daher
-
![{\displaystyle {}M\circ N=E_{n}=N\circ M\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002a2b8c7f2d9f7fb93b3977ffdf52049c6ef128)
und somit ist
invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.