Lineare Abbildung/Moduln/Bild und Urbild/Untermoduln/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ und $N$ zwei $R$-Moduln und sei

$\phi :M⟶N$

ein Modulhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für einen $R$-Untermodul  $S\subseteq M$  ist auch das Bild $\phi (S)$ ein Untermodul von $N$.
2. Insbesondere ist das Bild $\mathrm{bild}\phi =\phi (M)$ der Abbildung ein Untermodul von $N$.
3. Für einen Untermodul $T\subseteq N$ ist das Urbild ${\phi }^{-1}(T)$ ein Untermodul von $M$.
4. Insbesondere ist der Kern ${\phi }^{-1}(0)$ ein Untermodul von $M$.

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