Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierung mit charakteristischem Polynom/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von ist gleich dem charakteristischen Polynom , wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.

Von (2) nach (1). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach , wobei die Fälle

klar sind. Nach Voraussetzung und nach Fakt besitzt einen Eigenwert, sagen wir . Nach Fakt gibt es einen -dimensionalen Untervektorraum

der -invariant. Es sei eine Basis von , die wir durch zu einer Basis von ergänzen. Bezüglich dieser Basis wird durch eine Matrix der Gestalt

beschrieben. Die -Untermatrix beschreibt dabei die Einschränkung von auf bezüglich der gegebenen Basis. Da man das charakteristische Polynom mit jeder beschreibenden Matrix ausrechnen kann, ist (Entwicklung nach der letzten Zeile)

Daher muss auch das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfallen. Wir können also auf

die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten das Resultat.

Zur bewiesenen Aussage