Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierung mit charakteristischem Polynom/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$, wobei ${}M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.

Von (2) nach (1). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei die Fälle

${}n=0,1\,$

klar sind. Nach Voraussetzung und nach Fakt besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert, sagen wir ${}\lambda$. Nach Fakt gibt es einen ${}(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum

${}V_{n-1}\subset V\,,$

der ${}\varphi$-invariant. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ eine Basis von ${}V_{n-1}$, die wir durch ${}v_{n}\in V\setminus V_{n-1}$ zu einer Basis von ${}V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis wird ${}\varphi$ durch eine Matrix der Gestalt

${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,n-1}&a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\0&\ldots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Die ${}(n-1)\times (n-1)$-Untermatrix beschreibt dabei die Einschränkung ${}\varphi {|}_{V_{n-1}}$ von ${}\varphi$ auf ${}V_{n-1}$ bezüglich der gegebenen Basis. Da man das charakteristische Polynom mit jeder beschreibenden Matrix ausrechnen kann, ist (Entwicklung nach der letzten Zeile)

${}\chi _{\varphi }=\chi _{\varphi {|}_{V_{n-1}}}\cdot (X-a_{nn})\,.$

Daher muss auch das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi {|}_{V_{n-1}}}$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir können also auf

$\varphi {|}_{V_{n-1}}\colon V_{n-1}\longrightarrow V_{n-1}$

die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten das Resultat.

Zur bewiesenen Aussage