Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
- Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Familie ist eine Basis von .
- Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
- Für jeden Vektor gibt es genau eine Darstellung
- Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
- In einem Polynomring über einem Körper ist jedes Ideal ein Hauptideal.
- Es sei ein
Körper
und es sei ein
-dimensionaler
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms
ist.