Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. Die Familie ist eine Basis von .
    2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
    3. Für jeden Vektor gibt es genau eine Darstellung
    4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
  2. In einem Polynomring über einem Körper ist jedes Ideal ein Hauptideal.
  3. Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

    eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms

    ist.