Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/51/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. Die Familie ist eine Basis von ${}V$.
   2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
   3. Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung

      $u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}.$

   4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
2. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$. Dann sind ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$

   linear unabhängig.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ Polynome über ${}K$. Es sei ${}G$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}P_{i}$. Dann gibt es eine Darstellung

   ${}G=Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\,$

   mit ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$.

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