Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Unter der Bedingung, dass ${}V$ endlichdimensional ist, gilt

   ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$

2. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Es seien ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ bzw. ${}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}$ die zugehörigen Dualbasen. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die ${}m\times n$-Matrix

   ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,$

   beschrieben werde. Dann wird die duale Abbildung

   $\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

   bezüglich der Dualbasen von ${}{V}^{*}$ bzw. ${}{W}^{*}$ durch die transponierte Matrix

   ${}{{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\right)}^{\text{tr}}}$ beschrieben.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

   ${}\mu _{\lambda }=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

   gilt.