Lineare Gruppenoperation/Invariantenring/Graduiert/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und

$G\times V\longrightarrow V$

eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$.

Dann ist der Fixring ${}R^{G}\subseteq R=K[V]$ der induzierten Operation auf dem Polynomring ${}K[V]$ ein ${}\mathbb {N}$-graduierter Unterring.

Dabei ist

${}{\left(R^{G}\right)}_{d}=(R_{d})^{G}\,,$

die ${}d$-te Stufe des Fixringes ist der Fixraum der induzierten Operation auf der ${}d$-ten Stufe des Polynomringes.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen