Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Charakteristisches Polynom/Textabschnitt

Definition

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom

${}\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,$

auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind nach Fakt Eigenwerte von ${}M$ und liefern somit nach Fakt Lösungen des Differentialgleichungssystems.

Bemerkung  

Es sei

${}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0\,$

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und es sei

${}v'=Mv\,$

das zugehörige System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, also mit der Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,.$

Das zu dieser Matrix gehörige charakteristische Polynom ist nach Aufgabe gleich

$X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}.$

D.h. man kann dieses Polynom direkt aus der eingangs gegebenen Differentialgleichung höherer Ordnung ablesen.

Beispiel

Zu einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

${}y^{\prime \prime }+a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0\,$

ist das charakteristische Polynom gleich

$t^{2}+a_{1}t+a_{0}.$

Dessen Nullstellen sind einfach zu bestimmen, es ist

${}t_{1,2}=-{\frac {a_{1}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}\,.$