Linearform/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung

$V\longrightarrow K$

heißt eine Linearform auf ${}V$.

Beispiel

Eine Linearform auf dem ${}K^{n}$ ist von der Form

$K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$

zu einem Tupel ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$. Besonders einfache Linearformen sind die Projektionen

$p_{j}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{j}.$

Die Nullabbildung nach ${}K$ ist ebenfalls eine Linearform, die man auch die Nullform nennt.

Beispiel

Eine Reihe von prominenten Bespielen von Linearformen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen finden sich in der Analysis. Zu einem reellen Intervall ${}[a,b]$ sind die Menge der Funktionen ${}\operatorname {Abb} ([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. die Menge der stetigen Funktionen ${}C([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen ${}C^{1}([a,b],\mathbb {R} )$ reelle (ineinander enthaltene) Vektorräume. Zu einem Punkt ${}P\in [a,b]$ ist jeweils die Auswertung ${}f\mapsto f(P)$ eine Linearform (wegen der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation auf diesen Räumen). Ebenso ist die Auswertung der Ableitung

$C^{1}([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto f'(P),$

eine Linearform. Für ${}C([a,b],\mathbb {R} )$ ist ferner das Integral, also die Abbildung

$C([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{a}^{b}f(t)dt,$

eine Linearform. Dies beruht auf der Linearität des Integrals.

Der Kern der Nullform ist der gesamte Raum, ansonsten besitzt der Kern einer jeden Linearform ${}f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}$ mit ${}f\neq 0$ die Dimension ${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)-1$. Dies folgt aus der Dimensionsformel. Abgesehen von der Nullform ist eine Linearform stets surjektiv.