Lokal kompakter Raum/Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein lokal kompakter topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung besitze, und sei ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Topologie der kompakten Konvergenz. Zeige, dass ${}T$ genau dann kompakt ist, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. ${}T$ ist abgeschlossen.
2. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
3. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

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