Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/Test 1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und

   $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   ein äußeres Maß auf ${}M$. Dann ist die Fortsetzung ${}{\tilde {\mu }}$ des äußeren Maßes ${}\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge

   ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$, das auf ${}{\mathcal {P}}$ mit ${}\mu$ übereinstimmt.
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei

   $f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion ${}f$. Dann gilt

   ${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

3. Für eine messbare Funktion

   $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$

   ist ${}f$ genau dann integrierbar auf ${}H$, wenn die Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi$ auf ${}G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt

   ${}\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,,$

   wobei ${}J(\varphi )$ die Determinante des totalen Differentials ${}D\varphi$ bezeichnet.

Zur gelösten Aufgabe