Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß, siehe Beispiel und Beispiel. Der zugehörige Raum der quadratsummierbaren Folgen besitzt das Skalarprodukt

${}\left\langle f,g\right\rangle =\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}{\overline {g_{n}}}\,,$

die Norm eines Elementes ist

${}\Vert {f}\Vert ={\sqrt {\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {f_{n}}\vert ^{2}}}\,.$

Dieser Hilbertraum wird mit ${}l_{2}$ oder mit ${}L^{2}(\mathbb {N} )$ bezeichnet, man spricht vom Hilbertschen Folgenraum.

Satz

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und ${}L^{2}(X)$ der zugehörige Lebesgueraum der quadratintegriebaren Funktionen. Es sei

$\varphi \colon L^{2}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine stetige Linearform.

Dann gibt es eine quadratintegrierbare Funktion ${}g\in L^{2}(X)$ mit

${}\varphi (f)=\int _{X}f{\overline {g}}d\mu \,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt.

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