Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand ist Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist ${}L=\partial M$ mit der induzierten Topologie ein Hausdorff-Raum. Sei ${}P\in L$ und sei

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Karte mit ${}V\subseteq H$ offen und ${}\alpha (P)\in \partial H$. Da ${}\alpha$ eine Homöomorphie ist und da nach Fakt  (1) bei jeder Karte Randpunkte zu Randpunkten korrespondieren, induziert dies eine Homöomorphie

$U\cap L\longrightarrow V\cap \partial H.$

Dabei ist ${}U\cap L$ eine offene Umgebung von ${}P$ in ${}L$, so dass wir diese Mengen als Kartengebiete nehmen können. Betrachten wir nun einen Kartenwechsel, wobei wir gleich von einem einzigen Kartengebiet ${}U\subseteq M$ und zwei Karten ${}\alpha _{1}\colon U\rightarrow V_{1}$ und ${}\alpha _{2}\colon U\rightarrow V_{2}$ mit ${}V_{1},V_{2}\subseteq H$ offen ausgehen können. Es liegt dann ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus

$\varphi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

vor. Dies bedeutet zunächst, dass eine Homöomorphie ${}\partial H\cap V_{1}\rightarrow \partial H\cap V_{2}$ vorliegt. Die Diffeomorphismuseigenschaft von ${}\varphi$ bedeutet für jeden Punkt ${}P\in U\cap L$, dass es offene Umgebungen ${}\alpha _{1}(P)\in W_{1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}\alpha _{2}(P)\in W_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine diffeomorphe Fortsetzung

${\tilde {\varphi }}\colon W_{1}\longrightarrow W_{2}$

von ${}\varphi$ von ${}V_{1}\cap W_{1}$ nach ${}V_{2}\cap W_{2}$ gibt. Diese Fortsetzung induziert dann nach Aufgabe auch eine ${}C^{1}$-Diffeomorphie zwischen den Rändern ${}\partial H\cap W_{1}$ und ${}\partial H\cap W_{2}$,  so dass insgesamt eine Diffeomorphie

$\varphi {|}_{\partial H}\colon \partial H\cap V_{1}\longrightarrow \partial H\cap V_{2}$

vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage