Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand ist Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

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Beweis

Zunächst ist mit der induzierten Topologie ein Hausdorff-Raum. Sei und sei

eine Karte mit offen und . Da eine Homöomorphie ist und da nach Fakt  (1) bei jeder Karte Randpunkte zu Randpunkten korrespondieren, induziert dies eine Homöomorphie

Dabei ist eine offene Umgebung von in , so dass wir diese Mengen als Kartengebiete nehmen können. Betrachten wir nun einen Kartenwechsel, wobei wir gleich von einem einzigen Kartengebiet und zwei Karten und mit offen ausgehen können. Es liegt dann ein -Diffeomorphismus

vor. Dies bedeutet zunächst, dass eine Homöomorphie vorliegt. Die Diffeomorphismuseigenschaft von bedeutet für jeden Punkt , dass es offene Umgebungen und und eine diffeomorphe Fortsetzung

von von nach gibt. Diese Fortsetzung induziert dann nach Aufgabe auch eine -Diffeomorphie zwischen den Rändern und ,  so dass insgesamt eine Diffeomorphie

vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage