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Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

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  1. Der Tangentialraum besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
  2. Eine abgeschlossene Teilmenge heißt abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt eine Karte gibt mit offen, , offen und mit
  3. Ein Atlas heißt orientiert, wenn sämtliche Karten orientiert sind und wenn alle Kartenwechsel orientierungstreu sind.
  4. Die zurückgezogene Differentialform ist für und durch

    definiert.

  5. Das Wegintegral ist durch

    definiert.

  6. Eine -Differentialform auf heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte

    (mit und Koordinatenfunktionen ) in der lokalen Darstellung der Differentialform

    die Funktion überall positiv ist.

  7. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum , , ein Skalarprodukt erklärt ist derart, dass für jede Karte

    mit die Funktionen (für )

    -differenzierbar sind.

  8. Die äußere Ableitung von wird lokal auf einer Karte, auf der die Gestalt

    besitzt, durch

    definiert.