Wir wollen für die Funktion
-
und das
Einheitsintervall
bestimmen, für welche zwei Unterteilungspunkte
das
Treppenintegral
der zugehörigen
(dreistufigen)
unteren Treppenfunktion
maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
-

beschrieben. Die
partiellen Ableitungen
dieser Funktion sind
-

und
-

Wir bestimmen die
kritischen Punkte.
Aus der ersten partiellen Ableitung ergibt sich die Bedingung
-
![{\displaystyle {}y={\sqrt[{3}]{4}}x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a43a04e349f07912d0839405df712be1d5b046)
und daraus ergibt sich mit der zweiten partiellen Ableitung die Bedingung
-

also
-

bzw.
-
![{\displaystyle {}x={\frac {1}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2452f482c1618c0267af148efacea0e3a2595f39)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}P=\left({\frac {1}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}},\,{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}}\right)\cong \left(0,4911,\,0,7796\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b2c5d8847c17ed5b2782f7d692738b5ad7189e)
der einzige kritische Punkt. Wir bestimmen die
Hesse-Matrix
in diesem Punkt, sie ist
-

und in
gleich
-
also
negativ definit
nach Fakt.
Daher liegt in
ein Maximum
nach Fakt
vor.