Wir wollen für die Funktion
-
und das
Einheitsintervall
bestimmen, für welche zwei Unterteilungspunkte
das
Treppenintegral
der zugehörigen
(dreistufigen)
unteren Treppenfunktion
maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
-
![{\displaystyle {}f(x,y)=x{\left(1-x^{3}\right)}+{\left(y-x\right)}{\left(1-y^{3}\right)}=x-x^{4}+y-y^{4}-x+xy^{3}=-x^{4}+y-y^{4}+xy^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc74dd1b5c56a1567591a42f674908e9d9b7e1a)
beschrieben. Die
partiellen Ableitungen
dieser Funktion sind
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-4x^{3}+y^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae83bf9c9f51df9d9c4eb6563750785b54b5c823)
und
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial y}}=1-4y^{3}+3xy^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ca86a6c041080049da965e36c9906c39750868)
Wir bestimmen die
kritischen Punkte.
Aus der ersten partiellen Ableitung ergibt sich die Bedingung
-
![{\displaystyle {}y={\sqrt[{3}]{4}}x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a43a04e349f07912d0839405df712be1d5b046)
und daraus ergibt sich mit der zweiten partiellen Ableitung die Bedingung
-
![{\displaystyle {}1-16x^{3}+3\cdot 4^{2/3}x^{3}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fcbdc4fe08804ef12554dea66388ec6065b7d05)
also
-
![{\displaystyle {}{\left(16-3\cdot 4^{2/3}\right)}x^{3}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e812c4388a3ee4ef344db076559c5d3acd808e)
bzw.
-
![{\displaystyle {}x={\frac {1}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2452f482c1618c0267af148efacea0e3a2595f39)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}P=\left({\frac {1}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}},\,{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{\sqrt[{3}]{16-3\cdot 4^{2/3}}}}\right)\cong \left(0,4911,\,0,7796\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b2c5d8847c17ed5b2782f7d692738b5ad7189e)
der einzige kritische Punkt. Wir bestimmen die
Hesse-Matrix
in diesem Punkt, sie ist
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Hess} _{P}\,f={\begin{pmatrix}-12x^{2}&3y^{2}\\3y^{2}&-12y^{2}+6xy\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684e06bfe82fef3f91b9134d2ba2b5332e0bce96)
und in
gleich
-
also
negativ definit
nach Fakt.
Daher liegt in
ein Maximum
nach Fakt
vor.