Messräume/Prämaß/Ausschöpfungseigenschaften/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge von Teilmengen in ${}M$ mit ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}T=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$. Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von ${}T$ bildet (oder ${}T$ ausschöpft), und schreibt dafür ${}T_{n}\uparrow T$.

Der ${}\mathbb {R} ^{k}$ wird beispielsweise durch die Bälle ${}B\left(0,n\right)$ oder die Würfel ${}[-n,n]^{k}$ ausgeschöpft.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge von Teilmengen in ${}M$ mit ${}T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$. Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von ${}T$ bildet (oder gegen ${}T$ schrumpft), und schreibt dafür ${}T_{n}\downarrow T$.

Beispielsweise ist eine reelle Intervallschachtelung eine Schrumpfung, bei der der Durchschnitt über alle beteiligten Mengen nur aus einem einzigen Punkt besteht.

Bei einer ${}\sigma$-Algebra ${}{\mathcal {A}}$ gehört mit einer jeden solchen auf- oder absteigenden Folge von Teilmengen ${}T_{n}$ auch die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zu ${}{\mathcal {A}}$. Bei einem Prämaß auf einen Präring setzen wir, wenn wir von Ausschöpfung bzw. Schrumpfung sprechen, voraus, dass die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zum Präring gehören.

Wir fassen einige Rechenregeln für Prämaße zusammen.

Lemma

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und ${}\mu$ ein Prämaß auf ${}{\mathcal {P}}$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}\mu (\emptyset )=0$.
2. Für Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ mit ${}S\subseteq T$ gilt ${}\mu (T)=\mu (S)+\mu (T\setminus S)$. Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
3. Für Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ gilt ${}\mu (T\cup S)=\mu (S)+\mu (T)-\mu (S\cap T)$.
4. Seien ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, und ${}T$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit ${}T\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$ Dann gilt

   ${}\mu (T)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (T_{n})\,.$

5. Es sei ${}T_{n}\uparrow T$ eine Ausschöpfung in ${}{\mathcal {P}}$. Dann ist

   ${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$

   wobei diese Folge monoton wachsend ist.

6. Es sei ${}T_{n}\downarrow T$ eine Schrumpfung in ${}{\mathcal {P}}$ und sei ${}\mu (T_{0})<\infty$ vorausgesetzt. Dann ist

   ${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$

   wobei diese Folge monoton fallend ist.

Beweis

(1) ist in der Definition von Prämaß enthalten, da die leere Summe als ${}0$ definiert ist.
(2) folgt direkt aus der Definition, da ${}T$ die disjunkte Vereinigung aus ${}S$ und ${}T\setminus S$ ist.
(3) folgt daraus, dass ${}S\cup T$ die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen ${}S\setminus T,\,T\setminus S$ und ${}S\cap T$ ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben ${}S_{n}=T_{n}\setminus {\left(\bigcup _{i=0}^{n-1}T_{i}\right)}$. Dann gilt offensichtlich ${}\bigcup _{i=0}^{n}T_{i}=\bigcup _{i=0}^{n}S_{i}$ für alle ${}n$, wobei die Vereinigungen der ${}S_{i}$ jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt

${}{\begin{aligned}\mu (T)&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T\cap S_{n}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T\cap S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T_{n}\right)}.\end{aligned}}$

(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen ${}T_{n}$ als disjunkte Vereinigung mittels ${}S_{0}=T_{0}$ und ${}S_{n}=T_{n}\setminus T_{n-1}$. Damit ist

${}T_{n}=S_{0}\cup S_{1}\cup \ldots \cup S_{n}\,,$

und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt ${}\mu (T_{n})=\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})$. Entsprechend gilt

${}T=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\,$

und daher

${}\mu (T)=\mu {\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}=\sum _{i=0}^{\infty }\mu (S_{i})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,.$

(6) Wir setzen ${}S_{0}=T_{0}\setminus T_{n}$. Da ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine absteigende Folge ist, ist ${}S_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine aufsteigende Folge, und zwar gilt

${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\left(T_{0}\setminus T_{n}\right)}=T_{0}\setminus {\left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}=T_{0}\setminus T\,.$

Daher gilt

${}\mu {\left(T_{0}\setminus T\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{0}\setminus T_{n}\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }(\mu {\left(T_{0})-\mu (T_{n})\right)}=\mu (T_{0})-\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,$

nach Teil (5). Somit ist (da ${}\mu (T_{0})<\infty$ ist)

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})=\mu (T_{0})-\mu (T_{0}\setminus T)=\mu (T)\,.$

$\Box$