Messräume/Prämaß/Ausschöpfungseigenschaften/Textabschnitt

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Definition  

Sei eine Menge und sei , , eine Folge von Teilmengen in mit für alle . Es sei . Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von bildet (oder ausschöpft), und schreibt dafür .

Der wird beispielsweise durch die Bälle oder die Würfel ausgeschöpft.


Definition  

Sei eine Menge und sei , , eine Folge von Teilmengen in mit für alle . Es sei . Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von bildet (oder gegen schrumpft), und schreibt dafür .

Beispielsweise ist eine Intervallschachtelung eine Schrumpfung, bei der der Durchschnitt über alle beteiligten Mengen nur aus einem einzigen Punkt besteht.

Bei einer -Algebra gehört mit einer jeden solchen auf- oder absteigenden Folge von Teilmengen auch die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zu . Bei einem Prämaß auf einen Präring setzen wir, wenn wir von Ausschöpfung bzw. Schrumpfung sprechen, voraus, dass die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zum Präring gehören.

Wir fassen einige Rechenregeln für Prämaße zusammen.



Lemma  

Es sei eine Menge, ein Präring auf und ein Prämaß auf .

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es ist .
  2. Für Mengen mit gilt . Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
  3. Für Mengen gilt .
  4. Seien , , und aus mit . Dann gilt
  5. Sei eine Ausschöpfung in . Dann ist

    wobei diese Folge monoton wachsend ist.

  6. Sei eine Schrumpfung in und sei vorausgesetzt. Dann ist

    wobei diese Folge monoton fallend ist.

Beweis  

(1) ist in der Definition von Prämaß enthalten, da die leere Summe als definiert ist.
(2) folgt direkt aus der Definition, da die disjunkte Vereinigung aus und ist.
(3) folgt daraus, dass die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen und ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben . Dann gilt offensichtlich für alle , wobei die Vereinigungen der jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt


(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen als disjunkte Vereinigung mittels und . Damit ist

und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt . Entsprechend gilt

und daher


(6) Wir setzen . Da , , eine absteigende Folge ist, ist , , eine aufsteigende Folge, und zwar gilt

Daher gilt

nach Teil (5). Somit ist (da ist)