Metrischer Raum/Gleichmäßige Stetigkeit/Einführung/Textabschnitt

Die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto 1/x,$

ist stetig. In jedem Punkt ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit ${}f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$. Dabei hängt das ${}\delta$ nicht nur von der Zielgenauigkeit ${}\epsilon$, sondern auch von ${}x$ ab. Je kleiner ${}x$ wird, desto steiler wird der Funktionsgraph und desto kleiner muss ${}\delta$ gewählt werden, damit das Bild der ${}\delta$-Umgebung innerhalb der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}f(x)$ landet. Es gibt natürlich auch Funktionen, bei denen man zu jedem ${}\epsilon$ ein ${}\delta$ findet, dass für alle ${}x$ die Stetigkeitseigenschaft sichert.

Definition

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Dann heißt ${}f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem  ${}\epsilon >0$  ein  ${}\delta >0$  mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle  ${}x,x'\in L$  mit  ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$  ist  ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$. 

Satz

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine kompakte Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung in einen metrischen Raum ${}M$.

Dann ist ${}f$ gleichmäßig stetig.

Beweis

 Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein  ${}\epsilon >0$  derart, dass für kein  ${}\delta >0$  die Beziehung  ${}f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$  für alle  ${}x\in T$  erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  ein Paar  ${}x_{n},y_{n}\in T$  mit  ${}d{\left(x_{n},y_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}$,  aber mit  ${}d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$.  Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Fakt eine Teilfolge ${}(x_{n})_{n\in N}$ (dabei ist ${}N\subseteq \mathbb {N}$ unendlich) von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ein  ${}x\in T$  konvergiert. Die entsprechende Teilfolge ${}(y_{n})_{n\in N}$ konvergiert ebenfalls gegen ${}x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen ${}(f(x_{n}))_{n\in N}$ und ${}(f(y_{n}))_{n\in N}$ gegen ${}f(x)$. Dies ergibt aber einen Widerspruch, da  ${}d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$  ist.

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