Metrischer Raum/Kompakt/Charakterisierung/Textabschnitt

Lemma

Ein kompakter metrischer Raum ${}X$

ist vollständig.

Beweis

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}X$. Nehmen wir an, dass diese Folge nicht konvergiert. Nach Aufgabe besitzt sie dann auch keinen Häufungspunkt. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt ${}y\in X$ eine offene Umgebung ${}y\in U_{y}$ derart gibt, dass es darin nur endlich viele Folgenglieder gibt. Aufgrund der Kompaktheit gibt es zur Überdeckung

${}X=\bigcup _{y\in X}U_{y}\,$

eine endliche Teilüberdeckung, also

${}X=\bigcup _{i=1}^{m}U_{y_{i}}\,.$

Dann wären ab einem ${}N$ alle Folgenglieder außerhalb dieser Menge, was absurd ist.

$\Box$

Definition

Ein metrischer Raum ${}M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ endlich viele Punkte ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ derart gibt, dass

${}M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$

gilt.

Satz

Es sei ${}X$ ein metrischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${}X$ ist kompakt.
2. ${}X$ ist folgenkompakt.
3. ${}X$ ist vollständig und total beschränkt.

Beweis

Die Folgenkompaktheit ist äquivalent dazu, dass jede Folge einen Häufungspunkt besitzt. Von (1) nach (2) ergibt sich wie im Beweis zu Fakt. Aus (2) folgt (1) mit Fakt wegen Aufgabe. Es sei (2) erfüllt. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}X$. Nach Voraussetzung besitzt sie eine konvergente Teilfolge. Daraus folgt aber schon, dass die Folge konvergiert. Der Raum ist also vollständig. Wenn ${}X$ nicht total beschränkt ist, so gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass von den offenen Bällen ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ keine endliche Auswahl ganz ${}X$ überdeckt. Wir können daher eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konstruieren mit der Eigenschaft, dass zu ${}n>m$. der Abstand

${}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\geq \epsilon \,$

ist. Eine solche Folge besitzt keine konvergente Teilfolge.

Es sei nun (3) erfüllt und wir wollen auf (2) schließen. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}X$. Wir definieren induktiv unendliche Teilmengen ${}N_{k}\subseteq N_{k-1}\subseteq \mathbb {N}$ in folgender Weise: Es sei ${}N_{k-1}$ schon konstruiert. Es sei ${}U{\left(y_{1},{\frac {1}{k}}\right)},\ldots ,U{\left(y_{r},{\frac {1}{k}}\right)}$ eine offene Überdeckung von ${}X$, die es aufgrund der totalen Beschränktheit gibt. Dann gibt es eine unendliche Teilmenge ${}N_{k}\subseteq N_{k-1}$ derart, dass die ${}x_{n}$, ${}n\in N_{k}$, in einem der Bälle ${}U{\left(y_{i},{\frac {1}{k}}\right)}$ liegen. Wir wählen eine Teilfolge ${}x_{n_{k}}$ mit ${}n_{k}\in N_{k}$ und ${}n_{k}$ aufsteigend. Dann ist für ${}\ell \geq k$ stets

${}d(x_{n_{k}},x_{n_{\ell }})\leq {\frac {2}{k}}\,.$

Es liegt also eine Cauchy-Folge vor, die wegen der Vollständigkeit konvergiert.

$\Box$