Metrischer Raum/Zusammenhängend/Einführung/Textabschnitt

Die rote Menge ist zusammenhängend, die grüne Menge nicht.

Definition

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von ${}X$ gibt (nämlich ${}\emptyset$ und ${}X$ selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Den leeren metrischen Raum bezeichnet man gemäß dieser Definition als nicht zusammenhängend (oder unzusammenhängend). Ein nichtleerer nicht zusammenhängender Raum ${}X$ ist dadurch ausgezeichnet, dass man ${}X=A\cup B$ als disjunkte Vereinigung schreiben kann, wobei ${}A$ und ${}B$ beide nichtleer und in ${}X$ abgeschlossen (und damit auch beide offen) sind.

Das Tierchen Trichoplax adhaerens hat merkwürdige Zusammenhangseigenschaften. Es ist ein zusammenhängender Vielzeller. Wenn man es durch ein Sieb drückt, sodass die einzelnen Zellen voneinander getrennt werden, entstehen unzusammenhängende Zellen. Diese finden dann aber wieder zueinander und es entsteht erneut ein zusammenhängendes lebendiges Tierchen.

In der folgenden Aussage verstehen wir unter Intervalle auch die (einseitig oder beidseitig) unbeschränkten Intervalle, wie z.B. ${}[a,+\infty ]$.

Satz

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Dann ist ${}T$ genau dann zusammenhängend, wenn ${}T$ ein (nichtleeres) Intervall ist.

Beweis

Es sei zuerst ${}T$ kein Intervall. Wenn ${}T$ leer ist, so ist ${}T$ nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also ${}T\neq \emptyset$, aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe ${}x,z\in T$ und ${}y\notin T$ mit

${}x<y<z\,.$

Dann ist die Menge

${}A=T\cap {]{-\infty },y[}=T\cap {]{-\infty },y]}\,$

sowohl offen als auch abgeschlossen in ${}T$, da man ${}A$ sowohl als Durchschnitt von ${}T$ mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen ${}x\in A$ und ${}z\notin A$ ist sie weder ${}\emptyset$ noch ${}T$, also ist ${}T$ nicht zusammenhängend.
Es sei nun ${}T$ ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge ${}A\subseteq T$ mit ${}A\neq \emptyset ,T$ gibt, die in ${}T$ sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei ${}x\in A$ und ${}y\in T$ , ${}y\not \in A$. Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall ${}I=[x,y]\subseteq T$ (ohne Einschränkung sei ${}x<y$) und setzen ${}A'=A\cap [x,y]$. Dies ist eine in ${}I$ offene und abgeschlossene Teilmenge von ${}I$, die wegen ${}x\in A'$ nicht leer ist und wegen ${}y\notin A'$ nicht ganz ${}I$ ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall ${}I=[x,y]$ zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge ${}A$ mit ${}x\in A$ und ${}y\notin A$ gibt. Wir betrachten die reelle Zahl ${}s={\operatorname {sup} \,(A)}$, die wegen Fakt existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört ${}s$ zu ${}I$ und aufgrund von Fakt ist ${}s\in A$. Da ${}A$ aber auch offen in ${}T$ ist, gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}[s-\delta ,s+\delta ]\cap I\subseteq A$. Da ${}s$ das Supremum von ${}A$ ist, folgt ${}s=y$. Dies ist ein Widerspruch zu ${}y\notin A$.

$\Box$

Insbesondere sind also die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ zusammenhängend. Dies gilt auch für die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ und für den ${}\mathbb {R} ^{n}$ (siehe Fakt). Für die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ gilt die vorstehende Aussage nicht, dort sind nämlich nur die einpunktigen Intervalle zusammenhängend, alle anderen Intervalle sind in ${}\mathbb {Q}$ unzusammenhängend, da es zwischen zwei rationalen Zahlen stets irrationale Zahlen gibt, mit deren Hilfe man Teilmengen definieren kann, die zugleich offen als auch abgeschlossen sind.