Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton.

Umgekehrt sei  $\lambda \in K$  eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei  $v\in V$  ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda$, den es nach Fakt gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als

${\mu }_f=(X-{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{m_k}Q,$

wobei $Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist

$\begin{array}{cc}0& ={\mu }_f(f)\\ & =((X-{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{m_k}Q)(f)\\ & =(f-{\lambda }_1{\mathrm{Id}}_V{)}^{m_1}\cdots (f-{\lambda }_k{\mathrm{Id}}_V{)}^{m_k}Q(f).\end{array}$

Wir wenden dies auf $v$ an. Nach Fakt bilden die Faktoren den Vektor $v$ auf $(\lambda -{\lambda }_i{)}^{m_i}v$ bzw. auf $Q(\lambda )v$ ab. Insgesamt wird somit $v$ auf

$(\lambda -{\lambda }_1{)}^{m_1}\cdots (\lambda -{\lambda }_k{)}^{m_k}Q(\lambda )v$

abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und  $Q(\lambda )\ne 0$  ist, muss ein  ${\lambda }_i=\lambda$ 

sein.

Zur gelösten Aufgabe